Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 918. feladat (2007. november)

C. 918. Egy téglalap oldalainak felezőpontjait kössük össze a szemközti csúcsokkal. Az így kapott nyolc egyenes által meghatározott nyolcszög területe hányadrésze az eredeti téglalap területének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.

Megoldás: A behúzott nyolc szakasz négy egybevágó részre osztja a téglalapot. Elég az egyik ilyen részt megvizsgálni.

Nyilván BG felezi az IF, HC pedig az IG szakaszt.

Az IFG háromszög súlyvonalai harmadolják egymást, és felezik a háromszög területét. Legyen az OMN_{\triangle} területe x. Mivel 2NO=OF, ezért 2tNMO=tFMO=2x. Mivel MN az INF_{\triangle} súlyvonala, ezért tIMN=tOMN+tOMF=3x.

Innen tNGF=tINF=6x.

A keresett arány:

\frac{3x+x}{2\cdot(3x+x+2x+2x+4x)}=\frac{4x}{24x}=\frac16.

A keletkezett nyolcszög területe hatodrésze a téglalap területének.

Statisztika:

245 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:168 versenyző.
4 pontot kapott:15 versenyző.
3 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:24 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai