KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 923. The lengths of the parallel sides of a cyclic trapezium are a=10, c=15, the radius of the circumscribed circle is r=10. What may be the length of the legs? What is the area of the trapezium?

(5 points)

Deadline expired on 15 January 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Két ilyen trapéz is van. Az egyik tartalmazza a kör középpontját, a másik nem.

Az adatok alaján \gamma=60o, hiszen egyenlő oldalú háromszög egyik szöge.

Felírható még, hogy \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{7,5}{10}=0,75, amiből \alpha/2\approx48,59o és \alpha\approx97,18o.

Ebből kiszámoljuk \beta-t: \beta=\frac{97,18^{\circ}-60^{\circ}}{2}=18,59^{\circ}.

Ezt felhasználva: \sin\frac{\beta}{2}=\frac{x/2}{10}=x/20 miatt x_1=20\sin\frac{18,59}{2}=3,23.

Ekkor \alpha és \gamma ugyannyi, mint az előbb, csak \beta lesz más:

\beta=\frac{360^{\circ}-97,18^{\circ}-60^{\circ}}{2}\approx101,41^{\circ}.

Innen \sin(\beta/2)=\frac{x/2}{10}=x/20 miatt x2=20sin (101,41o/2)\approx15,48.

A két terület:

T_1=\frac12\left(10^2\left(\sin18,59^{\circ}+\sin60^{\circ}+\sin18,59^{\circ}-\sin97,18^{\circ}\right)\right)=

50\left(0,32+\sqrt3/2+0,32-0,99\right)\approx25,8,

T_2=\frac12\left(10^2\left(\sin101,41^{\circ}+\sin60^{\circ}+\sin101,41^{\circ}+\sin97,18^{\circ}\right)\right)=

50\left(0,98+\sqrt3/2+0,98+0,99\right)\approx190,8.


Statistics on problem C. 923.
322 students sent a solution.
5 points:128 students.
4 points:49 students.
3 points:89 students.
2 points:30 students.
1 point:15 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley