Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 923. (December 2007)

C. 923. The lengths of the parallel sides of a cyclic trapezium are a=10, c=15, the radius of the circumscribed circle is r=10. What may be the length of the legs? What is the area of the trapezium?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Két ilyen trapéz is van. Az egyik tartalmazza a kör középpontját, a másik nem.

Az adatok alaján \gamma=60o, hiszen egyenlő oldalú háromszög egyik szöge.

Felírható még, hogy \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{7,5}{10}=0,75, amiből \alpha/2\approx48,59o és \alpha\approx97,18o.

Ebből kiszámoljuk \beta-t: \beta=\frac{97,18^{\circ}-60^{\circ}}{2}=18,59^{\circ}.

Ezt felhasználva: \sin\frac{\beta}{2}=\frac{x/2}{10}=x/20 miatt x_1=20\sin\frac{18,59}{2}=3,23.

Ekkor \alpha és \gamma ugyannyi, mint az előbb, csak \beta lesz más:

\beta=\frac{360^{\circ}-97,18^{\circ}-60^{\circ}}{2}\approx101,41^{\circ}.

Innen \sin(\beta/2)=\frac{x/2}{10}=x/20 miatt x2=20sin (101,41o/2)\approx15,48.

A két terület:

T_1=\frac12\left(10^2\left(\sin18,59^{\circ}+\sin60^{\circ}+\sin18,59^{\circ}-\sin97,18^{\circ}\right)\right)=

50\left(0,32+\sqrt3/2+0,32-0,99\right)\approx25,8,

T_2=\frac12\left(10^2\left(\sin101,41^{\circ}+\sin60^{\circ}+\sin101,41^{\circ}+\sin97,18^{\circ}\right)\right)=

50\left(0,98+\sqrt3/2+0,98+0,99\right)\approx190,8.


Statistics:

322 students sent a solution.
5 points:128 students.
4 points:49 students.
3 points:89 students.
2 points:30 students.
1 point:15 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007