Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 927. (January 2008)

C. 927. The length of the hypotenuse of a right-angled triangle is c, and its area is t=\frac{c^2}{8}. Find the exact measures of the angles of the triangle.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az átfogóhoz tartozó magasságot m. A háromszög területét kétféleképpen felírva: t=\frac{c^2}{8}=\frac{cm}{2}, amiből c=4m.

Az m magasság a c oldalt így egy x és egy 4m-x hosszú szakaszra osztja. A magasságtételt felírva: m2=x(4m-x), ahonan x2-4mx+m2=0. Ezt x-re megoldva kapjuk, hogy

x_{1,2}=\frac{4m\pm\sqrt{16m^2-4m^2}}{2}=(2\pm\sqrt3)m.

Így például, ha a (2+\sqrt3)m hosszú rész és a hozzá csatlakozó befogó által bezárt szöget \alpha jelöli, akkor \tg\alpha=\frac{1}{2+\sqrt3}. A számológép azt adja ki, hogy ekkor \alpha=15o.

Valóban, az addíciós tételek szerint \tg15^{\circ}=\frac{\sin30^{\circ}}{1+\cos30^{\circ}}=\frac{1/2}{1+\sqrt3/2}=\frac{1}{2+\sqrt3}.


Statistics:

292 students sent a solution.
5 points:168 students.
4 points:101 students.
3 points:6 students.
2 points:5 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008