Problem C. 927. (January 2008)

C. 927. The length of the hypotenuse of a right-angled triangle is c, and its area is $t=\frac{c^2}{8}$ . Find the exact measures of the angles of the triangle.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az átfogóhoz tartozó magasságot m. A háromszög területét kétféleképpen felírva: $t=\frac{c^2}{8}=\frac{cm}{2}$ , amiből c=4m.

Az m magasság a c oldalt így egy x és egy 4m-x hosszú szakaszra osztja. A magasságtételt felírva: m²=x(4m-x), ahonan x²-4mx+m²=0. Ezt x-re megoldva kapjuk, hogy

$x_{1,2}=\frac{4m\pm\sqrt{16m^2-4m^2}}{2}=(2\pm\sqrt3)m.$

Így például, ha a $(2+\sqrt3)m$ hosszú rész és a hozzá csatlakozó befogó által bezárt szöget $\alpha$ jelöli, akkor $\tg\alpha=\frac{1}{2+\sqrt3}$ . A számológép azt adja ki, hogy ekkor $\alpha$ =15^o.

Valóban, az addíciós tételek szerint $\tg15^{\circ}=\frac{\sin30^{\circ}}{1+\cos30^{\circ}}=\frac{1/2}{1+\sqrt3/2}=\frac{1}{2+\sqrt3}$ .

Statistics:

292 students sent a solution.

5 points: 168 students.

4 points: 101 students.

3 points: 6 students.

2 points: 5 students.

1 point: 4 students.

0 point: 3 students.

Unfair, not evaluated: 5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

292 students sent a solution.
5 points:	168 students.
4 points:	101 students.
3 points:	6 students.
2 points:	5 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?