KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 927. The length of the hypotenuse of a right-angled triangle is c, and its area is t=\frac{c^2}{8}. Find the exact measures of the angles of the triangle.

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje az átfogóhoz tartozó magasságot m. A háromszög területét kétféleképpen felírva: t=\frac{c^2}{8}=\frac{cm}{2}, amiből c=4m.

Az m magasság a c oldalt így egy x és egy 4m-x hosszú szakaszra osztja. A magasságtételt felírva: m2=x(4m-x), ahonan x2-4mx+m2=0. Ezt x-re megoldva kapjuk, hogy

x_{1,2}=\frac{4m\pm\sqrt{16m^2-4m^2}}{2}=(2\pm\sqrt3)m.

Így például, ha a (2+\sqrt3)m hosszú rész és a hozzá csatlakozó befogó által bezárt szöget \alpha jelöli, akkor \tg\alpha=\frac{1}{2+\sqrt3}. A számológép azt adja ki, hogy ekkor \alpha=15o.

Valóban, az addíciós tételek szerint \tg15^{\circ}=\frac{\sin30^{\circ}}{1+\cos30^{\circ}}=\frac{1/2}{1+\sqrt3/2}=\frac{1}{2+\sqrt3}.


Statistics on problem C. 927.
292 students sent a solution.
5 points:168 students.
4 points:101 students.
3 points:6 students.
2 points:5 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley