KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 928. The whole numbers are written down up to a certain number n divisible by 50, and then the multiples of 50 are cancelled. Prove that the sum of the remaining numbers is a perfect square.

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A megmaradt sorozat így néz ki:

1, 2, 3, ..., 47, 48, 49,

1+50, 2+50, 3+50, ..., 47+50, 48+50, 48+50, 49+50,

1+100, 2+100, 3+100, ..., 47+100, 48+100, 48+100, 49+100,...

1+2+\ldots+49=\frac{50\cdot49}{2}=25\cdot49. Az 50 kimarad, a következő 49 szám mindegyike 50-nel nagyobb, mint az első csoportban levő számok, az utánuk következő 49 szám már 100-zal nagyobb, stb. Ha eredetileg n-ig írtuk fel a számokat, akkor n/50 darab 49 számot tartalmazó csoport van. Legyen k=n/50-1. A fentiek alapján a számok összege, felhasználva a számtani sorozat összegképletét:

49(25+75+\ldots+(25+k\cdot50))=49\cdot(25\cdot(1+3+\ldots+(1+2k))=

=49\cdot25\cdot\left(\frac{(2+2k)(k+1)}{2}\right)=(7\cdot5\cdot(k+1))^2.


Statistics on problem C. 928.
256 students sent a solution.
5 points:202 students.
4 points:22 students.
3 points:8 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program