KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 928. (January 2008)

C. 928. The whole numbers are written down up to a certain number n divisible by 50, and then the multiples of 50 are cancelled. Prove that the sum of the remaining numbers is a perfect square.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megmaradt sorozat így néz ki:

1, 2, 3, ..., 47, 48, 49,

1+50, 2+50, 3+50, ..., 47+50, 48+50, 48+50, 49+50,

1+100, 2+100, 3+100, ..., 47+100, 48+100, 48+100, 49+100,...

1+2+\ldots+49=\frac{50\cdot49}{2}=25\cdot49. Az 50 kimarad, a következő 49 szám mindegyike 50-nel nagyobb, mint az első csoportban levő számok, az utánuk következő 49 szám már 100-zal nagyobb, stb. Ha eredetileg n-ig írtuk fel a számokat, akkor n/50 darab 49 számot tartalmazó csoport van. Legyen k=n/50-1. A fentiek alapján a számok összege, felhasználva a számtani sorozat összegképletét:

49(25+75+\ldots+(25+k\cdot50))=49\cdot(25\cdot(1+3+\ldots+(1+2k))=

=49\cdot25\cdot\left(\frac{(2+2k)(k+1)}{2}\right)=(7\cdot5\cdot(k+1))^2.


Statistics:

256 students sent a solution.
5 points:202 students.
4 points:22 students.
3 points:8 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley