Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 929. (January 2008)

C. 929. The base edges and the lateral edges of a truncated pyramid of square base are all 4 units long. The sides of the top face are 2. What is the maximum possible distance between two vertices of the truncated pyramid?

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tudjuk, hogy c=d=4, a=2\sqrt2 és b=4\sqrt2.

Számítsuk ki t-t. Az m talppontja és A által meghatározott szakaszt jelölje x. Tudjuk, hogy x=\frac{4\sqrt2-2\sqrt2}{2}=\sqrt2. A Pitagorasz-tétel szerint m2=42-x2=16-2=14. Ismét a Pitagorasz-tételt használva t^2=m^2+(b-x)^2=14+(3\sqrt2)^2=32, tehát t=\sqrt{32}.

Az oldallapok átlóinak hoszát hasonlóan tudjuk kiszámolni. Az átlót w-vel jelölve: w^2=\left(4^2-\left(\frac{4-2}{2}\right)^2\right)+\left(4-\frac{4-2}{2}\right)^2=24, tehát az oldallapok átlójának hossza \sqrt{24}<\sqrt{32}.

A fedőlap átlója 2\sqrt2<\sqrt{32}, az alaplapé 4\sqrt2=\sqrt{32}. A többi él pedig 2, illetve 4 hosszú, ami szintén kevesebb, mint \sqrt{32}.

Tehát legfeljebb \sqrt{32} távolságra lehet egymástól a csonkagúla két csúcspontja.

Megjegyzés: Berajzolható egy olyan háromszög, melynek egyik oldala a testáló, másik oldala a lapátló, harmadik oldala pedig a fedőlap éle; és ebben a háromszögben a testátlóval szemben tompaszög van. Ebből is következik, hogy a testátló hosszabb, mint a lapátló.


Statistics:

264 students sent a solution.
5 points:108 students.
4 points:111 students.
3 points:23 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008