KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 929. The base edges and the lateral edges of a truncated pyramid of square base are all 4 units long. The sides of the top face are 2. What is the maximum possible distance between two vertices of the truncated pyramid?

(5 points)

Deadline expired on 15 February 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tudjuk, hogy c=d=4, a=2\sqrt2 és b=4\sqrt2.

Számítsuk ki t-t. Az m talppontja és A által meghatározott szakaszt jelölje x. Tudjuk, hogy x=\frac{4\sqrt2-2\sqrt2}{2}=\sqrt2. A Pitagorasz-tétel szerint m2=42-x2=16-2=14. Ismét a Pitagorasz-tételt használva t^2=m^2+(b-x)^2=14+(3\sqrt2)^2=32, tehát t=\sqrt{32}.

Az oldallapok átlóinak hoszát hasonlóan tudjuk kiszámolni. Az átlót w-vel jelölve: w^2=\left(4^2-\left(\frac{4-2}{2}\right)^2\right)+\left(4-\frac{4-2}{2}\right)^2=24, tehát az oldallapok átlójának hossza \sqrt{24}<\sqrt{32}.

A fedőlap átlója 2\sqrt2<\sqrt{32}, az alaplapé 4\sqrt2=\sqrt{32}. A többi él pedig 2, illetve 4 hosszú, ami szintén kevesebb, mint \sqrt{32}.

Tehát legfeljebb \sqrt{32} távolságra lehet egymástól a csonkagúla két csúcspontja.

Megjegyzés: Berajzolható egy olyan háromszög, melynek egyik oldala a testáló, másik oldala a lapátló, harmadik oldala pedig a fedőlap éle; és ebben a háromszögben a testátlóval szemben tompaszög van. Ebből is következik, hogy a testátló hosszabb, mint a lapátló.


Statistics on problem C. 929.
264 students sent a solution.
5 points:108 students.
4 points:111 students.
3 points:23 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley