Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 930. (February 2008)

C. 930. A game uses 11 red, 7 blue and 20 green counters. The bank returns two green counters for one red and one blue, two blue counters for one red and one green, and two red counters for one blue and one green. In making these trades, the player is trying to achieve that he has counters of a single colour. Which colour?

(5 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha két színből egy-egy korongot beváltunk a harmadik színű korongra, akkor a korongok darabszáma a következőképpen változik:

Jelölje a korongok számát eredetileg a, b és c. Ha a és b egyaránt 1-gyel csökken, c pedig 2-vel nő, akkor (az új darabszámokat rendre a', b', c'-vel jelölve) a'-b'=a-b, a'-c'=-3 és b'-c'=-3. Vagyis az egyes színekből a korongok darabszámának különbsége vagy változatlan, vagy 3-mal csökken, vagy 3-mal nő; tehát a 3-mal való osztási maradéka nem változik.

A lépések végén két korongból nem marad, tehát azok számának különbsége 3-mal osztható. Mivel a 11 és a 20 hárommal osztva egyaránt 2 maradékot ad, míg a 7 csak 1 maradékot, ezért a lépések során csak azt tudjuk elérni, hogy a 11 és a 20 0-ra csökkenjen, míg a 7 38-ra nőjön.

Ezt el is érhetjük a következő módon:

(11,7,20), (13,6,19), (15,5,18), (17,4,17), (16,6,16), és innentől kezdve minden lépésben a piros és a zöld korongok számát 1-gyel csökkentjük, a kék korongok számát pedig 2-vel növeljük, az utolsó lépéssel elérjük (0,38,0) állapotot, melyben csupa kék korongunk van.


Statistics:

277 students sent a solution.
5 points:58 students.
4 points:35 students.
3 points:41 students.
2 points:107 students.
1 point:16 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008