A C. 930. feladat (2008. február)

C. 930. Egy társasjátékban van 11 piros, 7 kék és 20 zöld korongunk. A bank egy piros meg egy kék korongért ad két zöld korongot, egy piros meg egy zöld korongért két kék korongot, végül egy kék meg egy zöld korongért két piros korongot. A cserék során arra törekszünk, hogy csupa azonos színű korongunk legyen. Melyik ez a szín?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha két színből egy-egy korongot beváltunk a harmadik színű korongra, akkor a korongok darabszáma a következőképpen változik:

Jelölje a korongok számát eredetileg a, b és c. Ha a és b egyaránt 1-gyel csökken, c pedig 2-vel nő, akkor (az új darabszámokat rendre a', b', c'-vel jelölve) a'-b'=a-b, a'-c'=-3 és b'-c'=-3. Vagyis az egyes színekből a korongok darabszámának különbsége vagy változatlan, vagy 3-mal csökken, vagy 3-mal nő; tehát a 3-mal való osztási maradéka nem változik.

A lépések végén két korongból nem marad, tehát azok számának különbsége 3-mal osztható. Mivel a 11 és a 20 hárommal osztva egyaránt 2 maradékot ad, míg a 7 csak 1 maradékot, ezért a lépések során csak azt tudjuk elérni, hogy a 11 és a 20 0-ra csökkenjen, míg a 7 38-ra nőjön.

Ezt el is érhetjük a következő módon:

(11,7,20), (13,6,19), (15,5,18), (17,4,17), (16,6,16), és innentől kezdve minden lépésben a piros és a zöld korongok számát 1-gyel csökkentjük, a kék korongok számát pedig 2-vel növeljük, az utolsó lépéssel elérjük (0,38,0) állapotot, melyben csupa kék korongunk van.

Statisztika:

277 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	58 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	107 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai