Problem C. 931.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 931. Find all positive integers, such that the result is 2007 if the sum of the digits is subtracted from them.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Legyen egy n jegyű szám $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1}$ , ahol nyilván a_n>0. Ekkor a különbség:

$(10^{n-1}-1)\cdot a_n+(10^{n-2}-1)\cdot a_{n-1}+\ldots+(10^{1-1}-1)\cdot a_1,$

ahol az első tag n $\geq$ 5 esetén legalább (10⁴-1)^.1=9999>2007. Tehát a szám legfeljebb négyjegyű.

Mivel a különbség 2007, a szám legalább négyjegyű.

A fentiekből következik, hogy a szám pontosan négyjegyű.

A négyjegyű számot $\overline{abcd}$ -vel jelölve, teljesülnie kell, hogy: $\overline{abcd}-a-b-c-d=2007$ , azaz 999a+99b+9c=2007, amiből 111a+11b+c=223.

Csak az a=2 lehet a jó (a $\geq$ 3 esetén a bal oldal legalább 333, a=1 esetén pedig legfeljebb 111+99+9=219). Ekkor 222+11b+c=223, ahonnan 11b+c=1. Ez csak b=0 és c=1 esetén teljesül.

A d értéke nem befolyásol semmit, ezért a keresett számok:

2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.

Statistics on problem C. 931.

310 students sent a solution.

5 points: 87 students.

4 points: 128 students.

3 points: 28 students.

2 points: 25 students.

1 point: 19 students.

0 point: 16 students.

Unfair, not evaluated: 7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

Our web pages are supported by:

ELTE