KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 931. Find all positive integers, such that the result is 2007 if the sum of the digits is subtracted from them.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen egy n jegyű szám \overline{a_na_{n-1}\ldots a_1}, ahol nyilván an>0. Ekkor a különbség:

(10^{n-1}-1)\cdot a_n+(10^{n-2}-1)\cdot a_{n-1}+\ldots+(10^{1-1}-1)\cdot a_1,

ahol az első tag n\geq5 esetén legalább (104-1).1=9999>2007. Tehát a szám legfeljebb négyjegyű.

Mivel a különbség 2007, a szám legalább négyjegyű.

A fentiekből következik, hogy a szám pontosan négyjegyű.

A négyjegyű számot \overline{abcd}-vel jelölve, teljesülnie kell, hogy: \overline{abcd}-a-b-c-d=2007, azaz 999a+99b+9c=2007, amiből 111a+11b+c=223.

Csak az a=2 lehet a jó (a\geq3 esetén a bal oldal legalább 333, a=1 esetén pedig legfeljebb 111+99+9=219). Ekkor 222+11b+c=223, ahonnan 11b+c=1. Ez csak b=0 és c=1 esetén teljesül.

A d értéke nem befolyásol semmit, ezért a keresett számok:

2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.


Statistics on problem C. 931.
310 students sent a solution.
5 points:87 students.
4 points:128 students.
3 points:28 students.
2 points:25 students.
1 point:19 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program