KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 931. (February 2008)

C. 931. Find all positive integers, such that the result is 2007 if the sum of the digits is subtracted from them.

(5 pont)

Deadline expired on 17 March 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen egy n jegyű szám \overline{a_na_{n-1}\ldots a_1}, ahol nyilván an>0. Ekkor a különbség:

(10^{n-1}-1)\cdot a_n+(10^{n-2}-1)\cdot a_{n-1}+\ldots+(10^{1-1}-1)\cdot a_1,

ahol az első tag n\geq5 esetén legalább (104-1).1=9999>2007. Tehát a szám legfeljebb négyjegyű.

Mivel a különbség 2007, a szám legalább négyjegyű.

A fentiekből következik, hogy a szám pontosan négyjegyű.

A négyjegyű számot \overline{abcd}-vel jelölve, teljesülnie kell, hogy: \overline{abcd}-a-b-c-d=2007, azaz 999a+99b+9c=2007, amiből 111a+11b+c=223.

Csak az a=2 lehet a jó (a\geq3 esetén a bal oldal legalább 333, a=1 esetén pedig legfeljebb 111+99+9=219). Ekkor 222+11b+c=223, ahonnan 11b+c=1. Ez csak b=0 és c=1 esetén teljesül.

A d értéke nem befolyásol semmit, ezért a keresett számok:

2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.


Statistics:

310 students sent a solution.
5 points:87 students.
4 points:128 students.
3 points:28 students.
2 points:25 students.
1 point:19 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley