KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 934. Three rods of negligible thickness are fixed to each other in a common point at one end, in pairwise perpendicular positions. The lengths of the rods are 1, 2 and 3. The rigid structure is placed on the table with the free ends of the rods touching the table. Determine the height of the common endpoint above the plane of the table.

(5 points)

Deadline expired on 17 March 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje az 1 hosszú rúd szabadon álló végét A, a 2 hosszú rúdét B, a 3 hosszúét C, a közös pontot pedig D.

A szabadon álló pontok távolsága Pitagorasz-tétellel: AB=\sqrt{1+4}=\sqrt5, BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}, CA=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.

Az ABC háromszögben a leghosszabb oldallal, vagyis a BC-vel szemközti szög koszinusza a koszinusz tétellel: 13=5+10-2\sqrt5\sqrt{10}\cos\alpha, ahonnan \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}.

Ez pozitív, ezért a háromszög biztosan hegyesszögű.

sin2\alpha+cos2\alpha=1, ezért \sin^2\alpha=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}. Mivel sin \alpha>0, ezért \sin\alpha=\frac{7}{\sqrt{50}}.

Jelölje a keresett távolságot - ami egyben az ABCD tetraéder ABC lapjához tartozó magassága - m.

T_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{\sqrt5\sqrt{10}\frac{7}{\sqrt{50}}}{2}=\frac72.

V_{ABCD}=\frac{T_{ABC}\cdot m}{3}=\frac76m.

Másként számolva a térfogatot: V_{ABCD}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.

Vagyis \frac76m=1, azaz a keresett távolság: m=\frac67.


Statistics on problem C. 934.
227 students sent a solution.
5 points:165 students.
4 points:30 students.
3 points:16 students.
2 points:5 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley