KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 934. (February 2008)

C. 934. Three rods of negligible thickness are fixed to each other in a common point at one end, in pairwise perpendicular positions. The lengths of the rods are 1, 2 and 3. The rigid structure is placed on the table with the free ends of the rods touching the table. Determine the height of the common endpoint above the plane of the table.

(5 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az 1 hosszú rúd szabadon álló végét A, a 2 hosszú rúdét B, a 3 hosszúét C, a közös pontot pedig D.

A szabadon álló pontok távolsága Pitagorasz-tétellel: AB=\sqrt{1+4}=\sqrt5, BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}, CA=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.

Az ABC háromszögben a leghosszabb oldallal, vagyis a BC-vel szemközti szög koszinusza a koszinusz tétellel: 13=5+10-2\sqrt5\sqrt{10}\cos\alpha, ahonnan \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}.

Ez pozitív, ezért a háromszög biztosan hegyesszögű.

sin2\alpha+cos2\alpha=1, ezért \sin^2\alpha=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}. Mivel sin \alpha>0, ezért \sin\alpha=\frac{7}{\sqrt{50}}.

Jelölje a keresett távolságot - ami egyben az ABCD tetraéder ABC lapjához tartozó magassága - m.

T_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{\sqrt5\sqrt{10}\frac{7}{\sqrt{50}}}{2}=\frac72.

V_{ABCD}=\frac{T_{ABC}\cdot m}{3}=\frac76m.

Másként számolva a térfogatot: V_{ABCD}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.

Vagyis \frac76m=1, azaz a keresett távolság: m=\frac67.


Statistics:

227 students sent a solution.
5 points:165 students.
4 points:30 students.
3 points:16 students.
2 points:5 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley