KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 936. (March 2008)

C. 936. Find all positive integers that have as many factors divisible by six as factors not divisible by six.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on 15 April 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Egy ilyen n szám prímtényezős felbontása n=2^x3^y\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k} alakú kell, hogy legyen, ahol pi-k 2-től és 3-tól különböző prímek. A 6-tal osztható osztók száma: x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1), tehát a feltétel alapján 2x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)=(x+1)(y+1)(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1). Egyszerűsítés és összevonás után az xy=x+y+1 diofantoszi egyenlet adódik. Ebből x-et kifejezve (mivel y=1 nem megoldás, ezért oszthatunk (y-1)-gyel): x=\frac{y+1}{y-1}=\frac{y-1+2}{y-1}=1+\frac{2}{y-1}. Mivel x és 1 egész, ezért \frac{2}{y-1} is egész kell, hogy legyen, így y-1 lehetséges értékei: -2, -1, 1, 2. Ebből y lehetséges értékei: -1, 0, 2, 3. Ezek közül a -1 nem jó. A megfelelő x értékek: -1 (ez nem lehet), 3, 2.

A megoldások: n_1=2^33^2\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k} és n_2=2^23^3\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}, tehát a 72-vel, vagy 108-cal osztható számok adják a megoldást.


Statistics:

>
139 students sent a solution.
5 points:Besnyő Réka, Bogár Blanka, Boros 001 Ágnes, Börcsök Zsuzsa, Fónagy 092 Fanni, Kardos Péter, Kis-Pál Tamás, Kitzinger Andor, Kovács 125 András, Kunos Vid, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mihálka Éva Zsuzsanna, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pintér Barbara, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.
4 points:47 students.
3 points:15 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:40 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley