KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 936. Find all positive integers that have as many factors divisible by six as factors not divisible by six.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Egy ilyen n szám prímtényezős felbontása n=2^x3^y\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k} alakú kell, hogy legyen, ahol pi-k 2-től és 3-tól különböző prímek. A 6-tal osztható osztók száma: x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1), tehát a feltétel alapján 2x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)=(x+1)(y+1)(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1). Egyszerűsítés és összevonás után az xy=x+y+1 diofantoszi egyenlet adódik. Ebből x-et kifejezve (mivel y=1 nem megoldás, ezért oszthatunk (y-1)-gyel): x=\frac{y+1}{y-1}=\frac{y-1+2}{y-1}=1+\frac{2}{y-1}. Mivel x és 1 egész, ezért \frac{2}{y-1} is egész kell, hogy legyen, így y-1 lehetséges értékei: -2, -1, 1, 2. Ebből y lehetséges értékei: -1, 0, 2, 3. Ezek közül a -1 nem jó. A megfelelő x értékek: -1 (ez nem lehet), 3, 2.

A megoldások: n_1=2^33^2\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k} és n_2=2^23^3\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}, tehát a 72-vel, vagy 108-cal osztható számok adják a megoldást.


Statistics on problem C. 936.
139 students sent a solution.
5 points:Besnyő Réka, Bogár Blanka, Boros 001 Ágnes, Börcsök Zsuzsa, Fónagy 092 Fanni, Kardos Péter, Kis-Pál Tamás, Kitzinger Andor, Kovács 125 András, Kunos Vid, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mihálka Éva Zsuzsanna, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pintér Barbara, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.
4 points:47 students.
3 points:15 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:40 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program