KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 937. Three sides of a quadrilateral are a=4\sqrt3, b=9 and c=\sqrt3. Sides a and b enclose an angle of 30o, and sides b and c enclose an angle of 90o. What angle do the diagonals enclose?

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Állítsunk D-ben merőlegest AD-re, és ennek az AB oldallal vett metszéspontja legyen E. Mivel az ADE háromszögben DAE\angle=30o és ADE\angle=90o, ezért a háromszög harmadik szöge, AED\angle=60o, és AD ismeretében DE és AE is meghatározható: AE=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3/2}=8, illetve DE=AE/2=4.

Ezután kössük össze E-t a C ponttal. Az EBC háromszög derékszögű, befogói \sqrt3 és 1 hosszúak, így átfogója, EC=2, és ez a háromszög is egy szabályos háromszög fele, CEB\angle=60o és ECB\angle=30o.

A DEC háromszög oldalai: EC=2, ED=4 és CD=2\sqrt3, tehát ez is egy szabályos háromszög fele, DEC\angle=60o, DCE\angle=90o és EDC\angle=30o.

Tekintsük ezután az ADC és a DCB háromszöget. A két háromszög hasonló, hiszen \frac{AD}{DC}=\frac{DC}{CB} és ADC\angle=DCB\angle=90o+30o=120o, tehát két oldaluk aránya és az általuk közrezárt szög megegyezik. Ez azt jelenti, hogy van olyan középpontos hasonlósági transzformáció, amely az ADC háromszöget a DCB háromszögbe viszi. Mivel az AD és a DC egyenesek által bezárt szög 180o-120o=60o, ezért az AC és a DB egyenesek által bezárt szög is 60o.


Statistics on problem C. 937.
224 students sent a solution.
5 points:138 students.
4 points:60 students.
3 points:10 students.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program