KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 937. Three sides of a quadrilateral are a=4\sqrt3, b=9 and c=\sqrt3. Sides a and b enclose an angle of 30o, and sides b and c enclose an angle of 90o. What angle do the diagonals enclose?

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Állítsunk D-ben merőlegest AD-re, és ennek az AB oldallal vett metszéspontja legyen E. Mivel az ADE háromszögben DAE\angle=30o és ADE\angle=90o, ezért a háromszög harmadik szöge, AED\angle=60o, és AD ismeretében DE és AE is meghatározható: AE=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3/2}=8, illetve DE=AE/2=4.

Ezután kössük össze E-t a C ponttal. Az EBC háromszög derékszögű, befogói \sqrt3 és 1 hosszúak, így átfogója, EC=2, és ez a háromszög is egy szabályos háromszög fele, CEB\angle=60o és ECB\angle=30o.

A DEC háromszög oldalai: EC=2, ED=4 és CD=2\sqrt3, tehát ez is egy szabályos háromszög fele, DEC\angle=60o, DCE\angle=90o és EDC\angle=30o.

Tekintsük ezután az ADC és a DCB háromszöget. A két háromszög hasonló, hiszen \frac{AD}{DC}=\frac{DC}{CB} és ADC\angle=DCB\angle=90o+30o=120o, tehát két oldaluk aránya és az általuk közrezárt szög megegyezik. Ez azt jelenti, hogy van olyan középpontos hasonlósági transzformáció, amely az ADC háromszöget a DCB háromszögbe viszi. Mivel az AD és a DC egyenesek által bezárt szög 180o-120o=60o, ezért az AC és a DB egyenesek által bezárt szög is 60o.


Statistics on problem C. 937.
224 students sent a solution.
5 points:138 students.
4 points:60 students.
3 points:10 students.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley