Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 938. (March 2008)

C. 938. Solve the following equation on the set of pairs of integers: (x+2)4-x4=y3.

Suggested by D. Fülöp, Marcali

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Alakítsuk át a bal oldalt:

[(x+2)-x][(x+2)3+(x+2)2.x+(x+2).x2+x3]=2(4x3+12x2+16x+8)=

=8(x3+3x2+4x+2)=8((x+1)3+(x+1))=23.(x+1)((x+1)2+1).

Mivel x+1 és (x+1)2+1 relatív prímek, ezért ez csak úgy lehet köbszám, ha mindkettő külön-külön az. Ha x+1=a3, akkor b3=(x+1)2+1=(a3)2+1=(a2)3+1. Vagyis két olyan köbszámot keresünk, amelyek között 1 a különbség. Ilyen csak a -1 és a 0, illetve a 0 és az 1.

I. eset: x+1=-1, amiből x=-2, de ekkor (x+1)2+1\neq0.

II. eset: x+1=0, amiből x=-1, és ekkor (x+1)2+1=1 is teljesül. Ebből pedig y3=0 miatt y=0 következik.

A feladatnak egy megoldása van: x=-1, y=0.


Statistics:

174 students sent a solution.
5 points:90 students.
4 points:25 students.
3 points:12 students.
2 points:7 students.
1 point:25 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008