Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 938. (March 2008)

C. 938. Solve the following equation on the set of pairs of integers: (x+2)4-x4=y3.

Suggested by D. Fülöp, Marcali

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Alakítsuk át a bal oldalt:

[(x+2)-x][(x+2)3+(x+2)2.x+(x+2).x2+x3]=2(4x3+12x2+16x+8)=

=8(x3+3x2+4x+2)=8((x+1)3+(x+1))=23.(x+1)((x+1)2+1).

Mivel x+1 és (x+1)2+1 relatív prímek, ezért ez csak úgy lehet köbszám, ha mindkettő külön-külön az. Ha x+1=a3, akkor b3=(x+1)2+1=(a3)2+1=(a2)3+1. Vagyis két olyan köbszámot keresünk, amelyek között 1 a különbség. Ilyen csak a -1 és a 0, illetve a 0 és az 1.

I. eset: x+1=-1, amiből x=-2, de ekkor (x+1)2+1\neq0.

II. eset: x+1=0, amiből x=-1, és ekkor (x+1)2+1=1 is teljesül. Ebből pedig y3=0 miatt y=0 következik.

A feladatnak egy megoldása van: x=-1, y=0.


Statistics:

174 students sent a solution.
5 points:90 students.
4 points:25 students.
3 points:12 students.
2 points:7 students.
1 point:25 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008