KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 938. (March 2008)

C. 938. Solve the following equation on the set of pairs of integers: (x+2)4-x4=y3.

Suggested by D. Fülöp, Marcali

(5 pont)

Deadline expired on 15 April 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Alakítsuk át a bal oldalt:

[(x+2)-x][(x+2)3+(x+2)2.x+(x+2).x2+x3]=2(4x3+12x2+16x+8)=

=8(x3+3x2+4x+2)=8((x+1)3+(x+1))=23.(x+1)((x+1)2+1).

Mivel x+1 és (x+1)2+1 relatív prímek, ezért ez csak úgy lehet köbszám, ha mindkettő külön-külön az. Ha x+1=a3, akkor b3=(x+1)2+1=(a3)2+1=(a2)3+1. Vagyis két olyan köbszámot keresünk, amelyek között 1 a különbség. Ilyen csak a -1 és a 0, illetve a 0 és az 1.

I. eset: x+1=-1, amiből x=-2, de ekkor (x+1)2+1\neq0.

II. eset: x+1=0, amiből x=-1, és ekkor (x+1)2+1=1 is teljesül. Ebből pedig y3=0 miatt y=0 következik.

A feladatnak egy megoldása van: x=-1, y=0.


Statistics:

174 students sent a solution.
5 points:90 students.
4 points:25 students.
3 points:12 students.
2 points:7 students.
1 point:25 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley