Problem C. 939. (March 2008)
C. 939. A rectangle of sides 15 cm and 20 cm is rotated about a diagonal. What is the volume of the resulting solid of revolution?
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A téglalap átlója a Pitagorasz-tétel felhasználásával cm hosszú. Az átlónak a téglalap szimmetria-középpontjától a csúcsig terjedő szakasza ennek fele, vagyis 12,5 cm.
Az átló a téglalapot két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Ezek magassága a területképletek felhasználásával számolható: , és így m=12. A magasság által a téglalap feléből levágott kisebb derékszögű háromszög hasonló a 15, 20, 25 oldalú háromszöghöz, hiszen szögeik megegyeznek. A hasonlóságból következik, hogy megfelelő oldalaik aránya egyenlő. A magasság által az átfogóból levágott rövidebb szakaszt jelölje y. Ekkor: , ahonnan y=9.
Az átló felének a középpontig terjedő maradék része 12,5-9=3,5 cm hosszú.
A forgatás végeredménye ugyanaz, mintha a zölddel és a pirossal jelölt részeket forgatnánk meg az átló körül. A térfogat kiszámításához ki kell még számítanunk x-et: , és így x=9,375.
Így a térfogat:
Statistics:
205 students sent a solution. 5 points: 121 students. 4 points: 40 students. 3 points: 21 students. 2 points: 11 students. 1 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 10 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008