C. 940. Prove if n is a positive integer then 2⁴ⁿ-1 or 2⁴ⁿ+1 is divisible by 17.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: 2⁴ⁿ=(2⁴)ⁿ=16ⁿ.

Legyen n páros, ekkor n=2k, és 2⁴ⁿ-1=16^2k-1^2k=(16+1)(16^2k-1-16^2k-2+16^2k-3-...+16-1)=17^.a, ahol a1 és egész, amennyiben k1. Vagyis ha n pozitív páros szám, akkor 17|2⁴ⁿ-1.

Legyen n páratlan, ekkor n=2k+1, és 2⁴ⁿ+1=16^2k+1-1^2k+1=(16+1)(16^2k-16^2k-1+16^2k-2-...-16+1)=17^.b, ahol b1 és egész, amennyiben k1. Vagyis ha n pozitív páratlan szám, akkor 17|2⁴ⁿ+1.

Statistics on problem C. 940. 172 students sent a solution. 5 points: 67 students. 4 points: 76 students. 3 points: 16 students. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students. 0 point: 8 students.