C. 942. In an arithmetic progression of common difference d, a₁=1 and a_n=81. In a geometric progression of common ratio q, b₁=1 and b_n=81. Given that , find all such sequences.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: A számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képlet alapján (n-1)d=80, ahonnan . Felhasználva, hogy , ebből .

Ha d irracionális szám lenne, akkor (n-1)d is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát d racionális, így q is az: , ahol (a,b)=1, vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha b=1, tehát q egész. Mivel és n legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor q értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban q^n-1 csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és a₅ valóban 81.

Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig n=5 esetén, ekkor d=20 és q=3.

Statistics on problem C. 942. 163 students sent a solution. 5 points: 91 students. 4 points: 42 students. 3 points: 13 students. 2 points: 10 students. 1 point: 4 students. 0 point: 3 students.