KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 942. (April 2008)

C. 942. In an arithmetic progression of common difference d, a1=1 and an=81. In a geometric progression of common ratio q, b1=1 and bn=81. Given that \frac qd=0.15, find all such sequences.

(5 pont)

Deadline expired on 15 May 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képlet alapján (n-1)d=80, ahonnan d=\frac{80}{n-1}. Felhasználva, hogy \frac qd=0,15=\frac{3}{20}, ebből q=\frac{3}{20}\cdot\frac{80}{n-1}=\frac{12}{n-1}.

Ha d irracionális szám lenne, akkor (n-1)d is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát d racionális, így q is az: q=\frac ab, ahol (a,b)=1, vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont 81=\left(\frac ab\right)^{n-1} számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha b=1, tehát q egész. Mivel q=\frac{12}{n-1} és n legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor q értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban qn-1 csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és a5 valóban 81.

Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig n=5 esetén, ekkor d=20 és q=3.


Statistics:

163 students sent a solution.
5 points:91 students.
4 points:42 students.
3 points:13 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley