KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

C. 942. In an arithmetic progression of common difference d, a1=1 and an=81. In a geometric progression of common ratio q, b1=1 and bn=81. Given that \frac qd=0.15, find all such sequences.

(5 points)

Deadline expired on 15 May 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képlet alapján (n-1)d=80, ahonnan d=\frac{80}{n-1}. Felhasználva, hogy \frac qd=0,15=\frac{3}{20}, ebből q=\frac{3}{20}\cdot\frac{80}{n-1}=\frac{12}{n-1}.

Ha d irracionális szám lenne, akkor (n-1)d is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát d racionális, így q is az: q=\frac ab, ahol (a,b)=1, vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont 81=\left(\frac ab\right)^{n-1} számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha b=1, tehát q egész. Mivel q=\frac{12}{n-1} és n legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor q értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban qn-1 csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és a5 valóban 81.

Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig n=5 esetén, ekkor d=20 és q=3.


Statistics on problem C. 942.
163 students sent a solution.
5 points:91 students.
4 points:42 students.
3 points:13 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE