Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 943. feladat (2008. április)

C. 943. Egy körcikk területe 100. Mekkora a sugara, ha minimális a kerülete?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a kör sugarát r, a körcikk területét t, kerületét k, ívhosszát pedig i. Tudjuk, hogy t=\frac{ri}{2}=100, azaz i=\frac{200}{r}.

Tudjuk továbbá, hogy k=2r+i=2r+\frac{200}{r}, ennek keressük a minimumát. Ez nyilván ugyanakkor minimális, amikor a fele az.

A számtani és a mértani közép összefüggése alapján tudjuk: \frac{r+\frac{100}{r}}{2}\geq\sqrt{r\cdot\frac{100}{r}}=10. Egyenlőség akkor van, ha r=\frac{100}{r}, vagyis r=10.

A kerület akkor a legnagyobb, ha r=10.

Statisztika:

177 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:137 versenyző.
4 pontot kapott:19 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai