KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 946. For what values of the constant c does the equation x^2- 2\left|x+\frac14\right|+c=0 have exactly three distinct real roots?

(5 points)

Deadline expired on 16 June 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: I. eset: x<-\frac14. Ekkor az egyenlet így alakul: x^2+2x+(c+\frac12)=0. Ennek megoldása: x_{12}=\frac{-2\pm\sqrt{2-4c}}{2}, a determináns pedig D1=2-4c.

II. eset: x\geq-\frac14. Ekkor az egyenlet: x^2-2x+(c-\frac12)=0. A megoldások: x_{34}=\frac{2\pm\sqrt{6-4c}}{2}, a determináns D2=6-4c.

Ha D1=0, akkor c=\frac12, a három különböző gyök pedig -1, 2 és 0.

Ha D2=0, akkor c=\frac32, ekkor viszont D1<0, így csak egy megoldás lenne, ez tehát nem jó.

Ha D1 és D2 is pozitív, akkor a négy gyök közül kell kettőnek megegyeznie.

x_1=-1+\sqrt{\frac12-c}, x_2=-1-\sqrt{\frac12-c}, x_3=1+\sqrt{\frac32-c}, x_4=1-\sqrt{\frac32-c}.

x1 és x2 nem lehet egyenlő, ugyanígy x3 és x4 sem. x3 biztosan nagyobb x1-nél és x2-nél is.

Ha x1=x4, akkor:

-1+\sqrt{\frac12-c}=1-\sqrt{\frac32-c},

2=\sqrt{\frac12-c}+\sqrt{\frac32-c},

négyzetre emelve:

4=2-2c+2\sqrt{\frac34+c^2-2c},

2+2c=2\sqrt{\frac34+c^2-2c},

1+c=\sqrt{\frac34+c^2-2c},

ismét négyzetre emelve:

c^2+2c+1=\frac34+c^2-2c,

4c=-\frac14,

c=-\frac{1}{16}.

Ekkor x1=x4=-0,25, x2=-1,75, x3=2,25.

Ha x2=x4, akkor hasonlóan számolva szintén c=-\frac{1}{16} adódik, azonban ez hamis gyök (ami a behelyettesítésen kívül abból is látszik, hogy az egyik négyzetre emelés előtt a bal oldal negatív lenne, míg a jobb oldal nem).


Statistics on problem C. 946.
111 students sent a solution.
5 points:Antalóczi Ditta, Bacsó András, Benyó Krisztián, Berta Katalin, Besnyő Réka, Bezdek Ádám, Boros 001 Ágnes, Botond Ákos, Buzsáki Dániel, Cserjési Szilárd, Csuka Barna, Dér László, Fülöp Dóra, Gergely Lívia, Gyarmati Máté, Kalocsai Ákos, Karkus Zsuzsa, Kitzinger Andor, Klincsik Gergely, Kovács 235 Gábor, Kovács Solt, Kunos Vid, Lantos Tamás, Meszlényi Regina, Molnár Kristóf, Najbauer Eszter Éva, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Poócza Katalin, Remete László, Scharle András, Schindele Kornélia, Szepcsik Áron, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Varga 777 Ádám, Zsupanek Alexandra.
4 points:Pálovics Péter, Sára Tamás, Strenner Péter, Tolner Ferenc.
3 points:10 students.
2 points:49 students.
1 point:4 students.
0 point:7 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley