Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 947. (May 2008)

C. 947. A rabbit is sitting at a point A, at a distance of 160 m from a straight railway track. The perpendicular projection of A onto the track is T. A train is approaching T at a speed of 30 m/s. The distance of the front of the train from point T is 300 m initially. The rabbit can run at 15 m/s. Can he cross the track in any direction before the train comes?

(5 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás:

Célozzon meg a nyuszi egy olyan N pontot a síneken, melyre teljesül, hogy T elválasztja N-et és V-t (V-vel jelöljük a vonat elejét). Legyen x=NT. A derékszögű NTA háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: TA2+x2=NA2, vagyis NA=\sqrt{160^2+x^2}.

A vonat 300+x méter utat tesz meg 30 m/s sebességgel, t_v=\frac{300+x}{30} másodperc alatt.

A nyuszi NA utat tesz meg 15 m/s sebességgel, \frac{\sqrt{160^2+x^2}}{15} másodperc alatt.

Ahhoz, hogy a nyuszi a vonatnál hamarabb érje el az N pontot, annak kell teljesülnie kell, hogy:

\frac{300+x}{30}>\frac{\sqrt{160^2+x^2}}{15}.

30-cal való beszorzás után négyzetre emelve:

90000+x2+600x>102400+4x2,

0>3x2-600x+12400.

x_{1,2}=100\pm\frac{\sqrt{211200}}{6},

x1\approx100+76,59=176,59; x2\approx100-76,59=23,41.

Az egyenlőtlenség 23,41<x<176,59 esetén teljesül.

Tehát, ha a nyuszi pl. a T-től 30 méterre levő pontot célozza meg, akkor még a vonat előtt átér a síneken.


Statistics:

137 students sent a solution.
5 points:93 students.
4 points:7 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:2 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008