KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 949. The midpoint of the base AB of an isosceles triangle ABC is F, and its orthocentre is M. Given that the centroid of the triangle lies on the inscribed circle and FM=\sqrt6, what may be the lengths of the sides of the triangle?

Suggested by D. Fülöp, Marcali

(5 points)

Deadline expired on 16 June 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje a beírható kör sugarát r, középpontját O, az O-ból a BC oldalra állított merőleges talppontját H, a háromszög szárát a, végül legyen AF=FB=x az ábra szerint.

Tudjuk, hogy FS=FC/3 (mert a súlypont harmadolja a súlyvonalat) és FS=2r, emiatt FC=6r, és így OC=6r-r=5r.

COH_{\triangle}\approx CBF_{\triangle}, hiszen mindkettő derékszögű háromszög, és a C csúcsnál fekvő szögük is megegyezik. Emiatt \frac{OC}{OH}=\frac{BC}{BF}, vagyis \frac{5r}{r}=\frac ax, amiből a=5x.

A CF szakasz hosszát a BCF háromszögben Pitagorasz tétellel kiszámolva: CF=\sqrt{BC^2-FB^2}=\sqrt{25x^2-x^2}=2\sqrt6x.

Az AFM_{\triangle}\approx CFB_{\triangle}, mert mindkettő derékszögű, és FAM\angle és FCB\angle merőleges szárú hegyesszögek, és így egyenlőek. Tehát \frac{FM}{AF}=\frac{FB}{CF}, vagyis \frac{\sqrt6}{x}=\frac{x}{2\sqrt6x}, amiből x=12.

Így a háromszög oldalai: AB=2x=24 és BC=AC=5x=60.


Statistics on problem C. 949.
90 students sent a solution.
5 points:71 students.
4 points:5 students.
3 points:6 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley