Problem C. 953.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 953. Given that a right-angled trapezium has an inscribed circle, show that the length of the right-angled leg is the harmonic mean of the lengths of the bases.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. A kör középpontját jelölje O, az O-ból a trapéz nem derékszögű szárára állított merőleges talppontját T, az alapokra emelt merőlegesek talppontját pedig R, illetve S.

DC a kör érintője, így merőleges SO-ra. Ugyanígy AB merőleges RO-ra. Mivel $DC\parallel AB$ , ezért az O-ból rájuk állított merőlegesek egy egyenesbe esnek: S, O és R egy egyenesen vannak. Az ARSD négyszög téglalap, hiszen szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Ezért AD=RS=2r. Mivel egy pontból a körhöz húzott érintési szakaszok hossza egyenlő, ezért az ábrán látható szakaszok keletkeznek, hosszukat jelölje r (ami egyenlő a beírt kör sugarával), illetve x és y.

COB $\angle$ =180^o-(DCB $\angle$ /2+ABC $\angle$ /2)=180^o-90^o=90^o. A COB háromszögre alkalmazva a magasságtételt kapjuk, hogy r²=xy.

Az alapok hosszának harmonikus közepét felírva, majd átalakítva:

$\frac{2}{\frac{1}{r+x}+\frac{1}{r+y}}=$

$=\frac{2(r+x)(r+y)}{r+y+r+x}=\frac{2(r^2+r(x+y)+xy)}{2r+(x+y)}=$

$=\frac{2(r^2+r(x+y)+r^2)}{2r+(x+y)}=\frac{4r^2+2r(x+y)}{2r+(x+y)}=2r,$

ami épp a derékszögű szár hossza.

Statistics on problem C. 953.

383 students sent a solution.

5 points: 237 students.

4 points: 64 students.

3 points: 9 students.

2 points: 13 students.

1 point: 12 students.

0 point: 41 students.

Unfair, not evaluated: 7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

Our web pages are supported by:

ELTE