KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 953. Given that a right-angled trapezium has an inscribed circle, show that the length of the right-angled leg is the harmonic mean of the lengths of the bases.

(5 points)

Deadline expired on 15 October 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A kör középpontját jelölje O, az O-ból a trapéz nem derékszögű szárára állított merőleges talppontját T, az alapokra emelt merőlegesek talppontját pedig R, illetve S.

DC a kör érintője, így merőleges SO-ra. Ugyanígy AB merőleges RO-ra. Mivel DC\parallel AB, ezért az O-ból rájuk állított merőlegesek egy egyenesbe esnek: S, O és R egy egyenesen vannak. Az ARSD négyszög téglalap, hiszen szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Ezért AD=RS=2r. Mivel egy pontból a körhöz húzott érintési szakaszok hossza egyenlő, ezért az ábrán látható szakaszok keletkeznek, hosszukat jelölje r (ami egyenlő a beírt kör sugarával), illetve x és y.

COB\angle=180o-(DCB\angle/2+ABC\angle/2)=180o-90o=90o. A COB háromszögre alkalmazva a magasságtételt kapjuk, hogy r2=xy.

Az alapok hosszának harmonikus közepét felírva, majd átalakítva:

\frac{2}{\frac{1}{r+x}+\frac{1}{r+y}}=

=\frac{2(r+x)(r+y)}{r+y+r+x}=\frac{2(r^2+r(x+y)+xy)}{2r+(x+y)}=

=\frac{2(r^2+r(x+y)+r^2)}{2r+(x+y)}=\frac{4r^2+2r(x+y)}{2r+(x+y)}=2r,

ami épp a derékszögű szár hossza.


Statistics on problem C. 953.
383 students sent a solution.
5 points:237 students.
4 points:64 students.
3 points:9 students.
2 points:13 students.
1 point:12 students.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley