KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 953. Given that a right-angled trapezium has an inscribed circle, show that the length of the right-angled leg is the harmonic mean of the lengths of the bases.

(5 points)

Deadline expired on 15 October 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A kör középpontját jelölje O, az O-ból a trapéz nem derékszögű szárára állított merőleges talppontját T, az alapokra emelt merőlegesek talppontját pedig R, illetve S.

DC a kör érintője, így merőleges SO-ra. Ugyanígy AB merőleges RO-ra. Mivel DC\parallel AB, ezért az O-ból rájuk állított merőlegesek egy egyenesbe esnek: S, O és R egy egyenesen vannak. Az ARSD négyszög téglalap, hiszen szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Ezért AD=RS=2r. Mivel egy pontból a körhöz húzott érintési szakaszok hossza egyenlő, ezért az ábrán látható szakaszok keletkeznek, hosszukat jelölje r (ami egyenlő a beírt kör sugarával), illetve x és y.

COB\angle=180o-(DCB\angle/2+ABC\angle/2)=180o-90o=90o. A COB háromszögre alkalmazva a magasságtételt kapjuk, hogy r2=xy.

Az alapok hosszának harmonikus közepét felírva, majd átalakítva:

\frac{2}{\frac{1}{r+x}+\frac{1}{r+y}}=

=\frac{2(r+x)(r+y)}{r+y+r+x}=\frac{2(r^2+r(x+y)+xy)}{2r+(x+y)}=

=\frac{2(r^2+r(x+y)+r^2)}{2r+(x+y)}=\frac{4r^2+2r(x+y)}{2r+(x+y)}=2r,

ami épp a derékszögű szár hossza.


Statistics on problem C. 953.
383 students sent a solution.
5 points:237 students.
4 points:64 students.
3 points:9 students.
2 points:13 students.
1 point:12 students.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program