Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 956. (October 2008)

C. 956. The number of sides of a polygon is doubled. For what polygons will the sum of the angles of the new polygon be a multiple of the sum of the angles of the original polygon?

(5 pont)

Deadline expired on November 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az eredeti sokszög szögösszege: (n-2).180o, az új sokszögben a szögösszeg: (2n-2).180o. A feladat kérdése így is megfogalmazható: Lehet-e egész szám a \frac{(2n-2)\cdot180^{\circ}}{(n-2)\cdot180^{\circ}}, ha n 2-nél nagyobb egész?

Nézzük a következő átalakítást: \frac{2n-2}{n-2}=2+\frac{2}{n-2}. Ez alapján n-2 és így n értéke is négyféle lehet:

n-2 -2 -1 1 2
n 0 1 3 4

Ebből csak az n=3 és n=4 megfelelő. Vagyis háromszög és négyszög esetén lehetséges. (Ezek valóban jók. A szögek összege háromszög esetén: 180o, hatszög esetén: 4.180o; négyszög esetén: 360o, nyolcszög esetén: 3.360o.)


Statistics:

465 students sent a solution.
5 points:166 students.
4 points:137 students.
3 points:102 students.
2 points:25 students.
1 point:20 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008