Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 962. feladat (2008. november)

C. 962. Az AC alapú ABC egyenlő szárú háromszög magasságpontja M. Tudjuk, hogy AC=BM. Mekkorák a háromszög szögei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A C-ből induló magasság talppontját jelölje TC, a B-ből indulóét pedig TB.

I. eset: a háromszög hegyesszögű.

TCBM\angle=ABTB\angle=90o-CAB\angle=ACTC\angle. Mivel MTCB\angle=ATCC\angle=90o és AC=BM, így mindezekből következik, hogy az AT_CC_{\triangle} és az MT_CB_{\triangle} egybevágó. Ekkor CTC=BTC és így CBTC\angle=BCTC\angle is fennáll.

Legyen ACTC\angle=\alpha. Ekkor MBTC\angle=\alpha. Mivel ABC egyenlő szárú, ezért BTB egyben az ABC szögfelezője is, és így ABC\angle=2\alpha.

A háromszög szögei: ABC\angle=2\alpha, BAC\angle=ACB\angle=ACTC\angle+TCCB\angle=ACTC\angle+TCBC\angle=\alpha+2\alpha=3\alpha. Vagyis 180o=8\alpha, ahonnan \alpha=22,5o, 2\alpha=45o, 3\alpha=67,5o.

A háromszög szögei:

ABC\angle=45o, BAC\angle=ACB\angle=67,5o.

II. eset: a háromszög tompaszögű.

Ekkor az AMC háromszögre megismételhető a fenti gondolatmenet, és így ACB\angle=\alpha=22,5o, CAB\angle=ACB\angle=22,5o, végül ABC\angle=180o-2.22,5o=135o.

III. eset: A háromszög derékszögű. Ez nyilván nem lehetséges, mert ekkor BM=0, ami nem lehet egyenlő AC-vel.

Statisztika:

273 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Angi Réka, Boros Ágnes, Cserjési Szilárd, Fehér András, Izsó Dániel, Kalocsai Ákos, Lantos Tamás, Mihálka Éva Zsuzsanna, Poócza Eszter, Tokai-Kiss Réka, Veres Flóra, Zsupanek Alexandra.
4 pontot kapott:166 versenyző.
3 pontot kapott:50 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:25 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai