KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 963. (November 2008)

C. 963. Solve the following equation on the set of real numbers: \sin^2\, (x+y)-\cos^2\, (x-y)=1.

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel sin2\alpha\leq1 és cos2\beta\geq0, ezért az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha sin2(x+y)=1 és cos2(x-y)=0.

I. eset: sin (x+y)=1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=\pi/2+2k\pi, a másodikból x-y=\pi/2+l\pi, ahol k és l egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

x=\frac{\pi}{2}(2k+l+1),

y=\frac{\pi}{2}(2k-l).

II. eset: sin (x+y)=-1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=-\pi/2+2m\pi, a másodikból x-y=\pi/2+n\pi, ahol m és n egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

x=\frac{\pi}{2}(2m+n),

y=\frac{\pi}{2}(2m-n-1).


Statistics:

255 students sent a solution.
5 points:87 students.
4 points:39 students.
3 points:46 students.
2 points:30 students.
1 point:28 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley