Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 963. (November 2008)

C. 963. Solve the following equation on the set of real numbers: \sin^2\, (x+y)-\cos^2\, (x-y)=1.

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel sin2\alpha\leq1 és cos2\beta\geq0, ezért az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha sin2(x+y)=1 és cos2(x-y)=0.

I. eset: sin (x+y)=1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=\pi/2+2k\pi, a másodikból x-y=\pi/2+l\pi, ahol k és l egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

x=\frac{\pi}{2}(2k+l+1),

y=\frac{\pi}{2}(2k-l).

II. eset: sin (x+y)=-1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=-\pi/2+2m\pi, a másodikból x-y=\pi/2+n\pi, ahol m és n egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

x=\frac{\pi}{2}(2m+n),

y=\frac{\pi}{2}(2m-n-1).


Statistics:

255 students sent a solution.
5 points:87 students.
4 points:39 students.
3 points:46 students.
2 points:30 students.
1 point:28 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008