Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 969. (December 2008)

C. 969. The arms of a pair of compasses need to be opened through an angle twice as wide to draw a circle of radius 6.5 cm as for a circle of radius 3.3. How long are the arms of the compasses?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A körző szárát jelölje x (nyilván x>0), a 3,3 cm sugarú kör esetén a körzőnyílást pedig 2\alpha. Mindkét esetben a keletkezett egyenlő szárú háromszöget az alap felező merőlegesével két egybevágó derékszögű háromszögre bonthatjuk. Ebből az első esetben azt kapjuk, hogy:

\sin\alpha=\frac{1,65}{x},

\cos\alpha=\frac{\sqrt{x^2-1,65^2}}{x}.

A második esetben pedig:

\sin2\alpha=\frac{3,25}{x}.

Az addíciós-tétel felhasználásával:

\frac{3,25}{x}=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{1,65}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2-1,65^2}}{x},

amit rendezve:

\frac{3,25}{3,3}x=\sqrt{x^2-1,65^2},

\frac{3,25^2}{3,3^2}x^2=x^2-1,65^2,

x^2=\frac{3,3^2\cdot1,65^2}{3,3^2-3,25^2},

x=\sqrt{\frac{3,3^2\cdot1,65^2}{3,3^2-3,25^2}}\approx9,5146.

A körző szára kb. 9,5146 cm hosszú.

II. megoldás. A körző szárát jelölje a. Az első esetben egy 3,3 cm alapú, \alpha szárszögű háromszöget határoz meg a körző. Erre a háromszögre felírva a koszinusz-tételt:

(1)3,32=2a2-2a2cos \alpha=2a2(1-cos \alpha).

A második esetben a szárszög 2\alpha, az alap pedig 6,5 cm. Az alapot felező merőleges a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre osztja, amelyekben \sin\alpha=\frac{3,25}{a}. Ebből \sin^2\alpha=\frac{10,5625}{a^2}, \cos^2\alpha=\frac{a^2-10,5625}{a^2}. Ennek gyökét visszahelyettesítve az 1) egyenletbe:

3,3^2=2a^2\left(1-\frac{\sqrt{a^2-10,5625}}{a}\right)=2a^2-2a\sqrt{a^2-10,5625},

2a\sqrt{a^2-10,5625}=2a^2-3,3^2.

Mivel \alpha<90o, ezért cos \alpha>0, és így az 1) egyenlet alapján 2a2-3,32>0, ezért négyzetre emelhetjük az egyenlet mindkét oldalát:

4a2(a2-10,5625)=4a4-4.10,89a2+118,5921,

4a4-42,25a2=4a4-43,56a2+118,5921,

1,31a2=118,5921,

a=\sqrt{\frac{118,5921}{1,31}}\approx9,52.

Erre az értékre a2-10,5625>0.

A körző szára kb. 9,52 cm hosszú.


Statistics:

268 students sent a solution.
5 points:184 students.
4 points:4 students.
3 points:1 student.
2 points:10 students.
1 point:10 students.
0 point:44 students.
Unfair, not evaluated:15 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008