KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 969. The arms of a pair of compasses need to be opened through an angle twice as wide to draw a circle of radius 6.5 cm as for a circle of radius 3.3. How long are the arms of the compasses?

(5 points)

Deadline expired on 15 January 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

I. megoldás. A körző szárát jelölje x (nyilván x>0), a 3,3 cm sugarú kör esetén a körzőnyílást pedig 2\alpha. Mindkét esetben a keletkezett egyenlő szárú háromszöget az alap felező merőlegesével két egybevágó derékszögű háromszögre bonthatjuk. Ebből az első esetben azt kapjuk, hogy:

\sin\alpha=\frac{1,65}{x},

\cos\alpha=\frac{\sqrt{x^2-1,65^2}}{x}.

A második esetben pedig:

\sin2\alpha=\frac{3,25}{x}.

Az addíciós-tétel felhasználásával:

\frac{3,25}{x}=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{1,65}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^2-1,65^2}}{x},

amit rendezve:

\frac{3,25}{3,3}x=\sqrt{x^2-1,65^2},

\frac{3,25^2}{3,3^2}x^2=x^2-1,65^2,

x^2=\frac{3,3^2\cdot1,65^2}{3,3^2-3,25^2},

x=\sqrt{\frac{3,3^2\cdot1,65^2}{3,3^2-3,25^2}}\approx9,5146.

A körző szára kb. 9,5146 cm hosszú.

II. megoldás. A körző szárát jelölje a. Az első esetben egy 3,3 cm alapú, \alpha szárszögű háromszöget határoz meg a körző. Erre a háromszögre felírva a koszinusz-tételt:

(1)3,32=2a2-2a2cos \alpha=2a2(1-cos \alpha).

A második esetben a szárszög 2\alpha, az alap pedig 6,5 cm. Az alapot felező merőleges a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre osztja, amelyekben \sin\alpha=\frac{3,25}{a}. Ebből \sin^2\alpha=\frac{10,5625}{a^2}, \cos^2\alpha=\frac{a^2-10,5625}{a^2}. Ennek gyökét visszahelyettesítve az 1) egyenletbe:

3,3^2=2a^2\left(1-\frac{\sqrt{a^2-10,5625}}{a}\right)=2a^2-2a\sqrt{a^2-10,5625},

2a\sqrt{a^2-10,5625}=2a^2-3,3^2.

Mivel \alpha<90o, ezért cos \alpha>0, és így az 1) egyenlet alapján 2a2-3,32>0, ezért négyzetre emelhetjük az egyenlet mindkét oldalát:

4a2(a2-10,5625)=4a4-4.10,89a2+118,5921,

4a4-42,25a2=4a4-43,56a2+118,5921,

1,31a2=118,5921,

a=\sqrt{\frac{118,5921}{1,31}}\approx9,52.

Erre az értékre a2-10,5625>0.

A körző szára kb. 9,52 cm hosszú.


Statistics on problem C. 969.
268 students sent a solution.
5 points:184 students.
4 points:4 students.
3 points:1 student.
2 points:10 students.
1 point:10 students.
0 point:44 students.
Unfair, not evaluated:15 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley