A C. 972. feladat (2009. január)

C. 972. Egy lépcsőházban 10 postaláda van. Egy terjesztő 5 postaládába dob egy-egy szórólapot. Később egy másik terjesztő szintén 5 postaládába dob egy-egy szórólapot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy így legalább 8 postaládába kerül szórólap?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Az, hogy legalább 8 postaládába kerül szórólap, ugyanazt jelenti, mint hogy legfeljebb 2-be nem kerül.

Az első terjesztő még mindegy, hogy hova dob szórólapot. Összesen $\binom{10}{5}$ -féleképpen dobhatja be azokat a postaládákba.

Ahhoz, hogy legfeljebb 2 postaládába ne kerüljön szórólap, az szükséges, hogy a másik terjesztő legfeljebb 2 olyan ládába dobjon szórólapot, ahol már van. Ha 0 ilyen ládába dob, akkor a maradék 5-öt a másik 5 ládába dobja, erre $\binom{5}{0}\binom{5}{5}=1$ lehetősége van. Ha 1 ilyenbe dob, akkor a maradék 4 -et kell a másik 5 ládába dobnia, erre $\binom{5}{1}\binom{5}{4}=5^2$ lehetősége van. Végül, ha 2 ilyenbe dob, akkor a maradék 3-at kell a másik 5 ládába dobnia, erre $\binom{5}{2}\binom{5}{3}=10^2$ lehetősége van.

Az összes lehetőségek száma pedig $\binom{10}{5}^2$ .

A valószínűség:

$\frac{\binom{10}{5}\cdot(1+5^2+10^2)}{\binom{10}{5}^2}=\frac{126}{252}=\frac12.$

Statisztika:

233 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 124 versenyző.

4 pontot kapott: 3 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 43 versenyző.

0 pontot kapott: 49 versenyző.

Nem versenyszerű: 7 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai

233 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	124 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	43 versenyző.
0 pontot kapott:	49 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?