KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 973. (January 2009)

C. 973. Solve the equation: 1+cos 3x=2cos 2x.

(5 pont)

Deadline expired on 16 February 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tudjuk, hogy cos 2x=2cos2x-1 és sin 2x=2sin xcos x. Ezek felhasználásával cos 3x felírható cos x függvényeként:

cos 3x=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x.

Így a megoldandó egyenlet:

4cos3x-3cos x+1=4cos2x-2,

amit rendezve a következő harmadfokú egyenlethez jutunk:

4cos3x-4cos2x-3cos x+3=0.

Ennek a cos x=1 gyöke. Ekkor x1=2k\pi, ahol k\in \Bbb Z. A bal oldalt szorzattá bontva:

(cos x-1)(4cos2x-3).

A másik gyök tehát a \cos^2 x=\frac34 alakból nyerhető, amiből \cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}, és innen

x_2=\pm\frac{\pi}{6}+l\pi,~~{\rm ahol}~~l\in \Bbb Z.


Statistics:

214 students sent a solution.
5 points:123 students.
4 points:35 students.
3 points:17 students.
2 points:7 students.
1 point:8 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley