KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 974. (January 2009)

C. 974. ABCD is a cyclic trapezium. Diagonal BD is extended beyond vertex D by the length of the leg and the point L is obtained. K is the point on diagonal AC whose distance from C is equal to the leg. Prove that the areas of the rectangles formed by the line segments AB and CD and the line segments AK and BL are equal.

(5 pont)

Deadline expired on 16 February 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Igazolandó: AB.CD=AK.BL, a szokásos jelölésekkel: ac=(e-b)(e+b). Ezt így is írhatjuk: e2=b2+ac. Az ADC háromszögben a koszinusz-tétel: e2=b2+c2-2bccos (180o-\alpha). Elegendő lenne bizonyítani, hogy c2-2bccos (180o-\alpha)=ac, azaz: c-2bcos (180o-\alpha)=a, vagyis \cos(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\frac{c-a}{2}}{b}, illetve \cos\alpha=\frac{\frac{a-c}{2}}{b}. Ez pedig igaz.


Statistics:

>
179 students sent a solution.
5 points:164 students.
4 points:4 students.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley