KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 975. (February 2009)

C. 975. In triangle ABC, the altitude drawn from vertex C intersects side AB at T. Right-angled triangles CAD and CBE are drawn on sides AC and BC on the outside, such that the right angles are at A and B. Given that AD=TB and BE=TA, prove that \angleCDE=\angleCED.

(5 pont)

Deadline expired on 16 March 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az ATC és a CAD háromszögre:

(1)b2=y2+m2,
(2)CD2=x2+b2.

Írjuk be (2)-be az (1)-ben b2-re kapott értéket:

(3)CD2=x2+y2+m2.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a BTC és a CBE háromszögre:

(4)a2=x2+m2,
(5)CE2=y2+a2.

Írjuk be (5)-be a (4)-ben a2-re kapott értéket:

(6)CE2=y2+x2+m2.

Mivel (3) és (6) jobb oldala megegyezik, ezért bal oldaluk is egyenlő: CD2=CE2. Mivel szakaszok hossza pozitív, ezért ebből CD=CE következik, tehát a CDE\triangle egyenlő szárú. Így pedig alapon fekvő szögei egyenlők: CDE\angle=CED\angle, amit bizonyítani kellett.

(Ha D, C és E egy egyenesre esnek, akkor a háromszög elfajuló, és CDE\angle=CED\angle=0o.)


Statistics:

228 students sent a solution.
5 points:214 students.
1 point:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley