KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 976. The sum of three positive numbers is multiplied by the sum of their reciprocals. Find the smallest possible interval where the product may lie.

(5 points)

Deadline expired on 16 March 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Néhány számhármas kipróbálása utáni sejtésünk:

(a+b+c)\left(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c\right)\geq9.

Beszorzás után kapjuk, hogy:

1+\frac ab+\frac ac+\frac ba+1+\frac bc+\frac ca+\frac cb+1\geq9.

A tagokat átcsoportosítva:

3+\left(\frac ab+\frac ba\right)+\left(\frac ac+\frac ca\right)+\left(\frac bc+\frac cb\right)\geq9.

Egy pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, tehát az egyenlőtlenség igaz.

A szorzat pedig bármilyen n egész számnál nagyobb lehet, hiszen ehhez elég, ha például a=nb teljesül.

Vagyis a legszűkebb intervallum, ahova a szorzat eshet: [9;\infty[.


Statistics on problem C. 976.
193 students sent a solution.
5 points:74 students.
4 points:47 students.
3 points:45 students.
2 points:13 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley