Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 979. (February 2009)

C. 979. We have a red bouncy ball with thirty round white spots on it. (The spots form spherical caps.) The perimeter of the great circle of the ball is 54 cm, and the perimeter of the spots is 11 cm. What percentage of the surface area of the ball is covered by the spots?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a labdának megfelelő gömb sugarát r, a pöttynek megfelelő gömbsüveg alapkörének sugarát \varrho, magasságát pedig m.

r és \varrho közvetlenül számolható:

r=\frac{54}{2\pi}\approx8,59;\qquad\qquad\varrho=\frac{11}{2\pi}\approx1,75.

Messük el a gömböt egy, a középpontján és egy gömbsüveg alapkörének középpontján átmenő síkkal.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ekkor OB=OC=r, KB=\varrho és KC=m. Ebből OK=r-m. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az OKB háromszögre:

r2=\varrho2+(r-m)2,

amiből

r-m=\sqrt{r^2-\varrho^2}\approx8,41,

és így m=r-8,41=0,18.

Egy pötty felszíne:

Ap=2\pirm\approx9,72,

a labda felszíne:

Al=4\pir2\approx927,25.

A keresett arány: \frac{30\cdot9,72}{927,25}\approx31,45\%.


Statistics:

255 students sent a solution.
5 points:153 students.
4 points:53 students.
3 points:11 students.
2 points:23 students.
1 point:7 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009