KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 979. (February 2009)

C. 979. We have a red bouncy ball with thirty round white spots on it. (The spots form spherical caps.) The perimeter of the great circle of the ball is 54 cm, and the perimeter of the spots is 11 cm. What percentage of the surface area of the ball is covered by the spots?

(5 pont)

Deadline expired on 16 March 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a labdának megfelelő gömb sugarát r, a pöttynek megfelelő gömbsüveg alapkörének sugarát \varrho, magasságát pedig m.

r és \varrho közvetlenül számolható:

r=\frac{54}{2\pi}\approx8,59;\qquad\qquad\varrho=\frac{11}{2\pi}\approx1,75.

Messük el a gömböt egy, a középpontján és egy gömbsüveg alapkörének középpontján átmenő síkkal.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ekkor OB=OC=r, KB=\varrho és KC=m. Ebből OK=r-m. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az OKB háromszögre:

r2=\varrho2+(r-m)2,

amiből

r-m=\sqrt{r^2-\varrho^2}\approx8,41,

és így m=r-8,41=0,18.

Egy pötty felszíne:

Ap=2\pirm\approx9,72,

a labda felszíne:

Al=4\pir2\approx927,25.

A keresett arány: \frac{30\cdot9,72}{927,25}\approx31,45\%.


Statistics:

255 students sent a solution.
5 points:153 students.
4 points:53 students.
3 points:11 students.
2 points:23 students.
1 point:7 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley