Problem C. 984. (March 2009)
C. 984. a, b and c are three not necessarily consecutive terms of an arithmetic progression of positive numbers. Given that , find the common difference of the arithmetic progression.
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mindkét oldalt abc-vel szorozva, majd a tagokat alakítva kapjuk, hogy:
0=(c-b)bc+(a-c)ac+(b-a)ab=c2b-b2c+a2c-c2a+b2a-a2b=
=c2(b-a)+ab(b-a)+c(a2-b2)=c2(b-a)+ab(b-a)+c(a-b)(a+b)=
=(b-a)(c2+ab-ac-bc)=(b-a)[(c(c-a)+b(a-c)]=
=(b-a)(c-a)(c-b).
Ez akkor 0, ha a=b, a=c vagy b=c. Mivel a, b és c egy számtani sorozat három különböző eleme, ezért mindhárom esetben a két tag egyenlőségéből következik, hogy a differencia 0.
Statistics:
140 students sent a solution. 5 points: 105 students. 4 points: 5 students. 3 points: 6 students. 2 points: 5 students. 1 point: 7 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009