Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 984. (March 2009)

C. 984. a, b and c are three not necessarily consecutive terms of an arithmetic progression of positive numbers. Given that \frac{c-b}{a}+\frac{a-c}{b}+ \frac{b-a}{c}=0, find the common difference of the arithmetic progression.

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mindkét oldalt abc-vel szorozva, majd a tagokat alakítva kapjuk, hogy:

0=(c-b)bc+(a-c)ac+(b-a)ab=c2b-b2c+a2c-c2a+b2a-a2b=

=c2(b-a)+ab(b-a)+c(a2-b2)=c2(b-a)+ab(b-a)+c(a-b)(a+b)=

=(b-a)(c2+ab-ac-bc)=(b-a)[(c(c-a)+b(a-c)]=

=(b-a)(c-a)(c-b).

Ez akkor 0, ha a=b, a=c vagy b=c. Mivel a, b és c egy számtani sorozat három különböző eleme, ezért mindhárom esetben a két tag egyenlőségéből következik, hogy a differencia 0.


Statistics:

141 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:5 students.
3 points:6 students.
2 points:5 students.
1 point:7 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009