A C. 984. feladat (2009. március)

C. 984. Egy pozitív számokból álló számtani sorozat nem feltétlenül egymást követő tagja a, b és c. Tudjuk, hogy

Adjuk meg a sorozat differenciáját.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Mindkét oldalt abc-vel szorozva, majd a tagokat alakítva kapjuk, hogy:

0=(c-b)bc+(a-c)ac+(b-a)ab=c²b-b²c+a²c-c²a+b²a-a²b=

=c²(b-a)+ab(b-a)+c(a²-b²)=c²(b-a)+ab(b-a)+c(a-b)(a+b)=

=(b-a)(c²+ab-ac-bc)=(b-a)[(c(c-a)+b(a-c)]=

=(b-a)(c-a)(c-b).

Ez akkor 0, ha a=b, a=c vagy b=c. Mivel a, b és c egy számtani sorozat három különböző eleme, ezért mindhárom esetben a két tag egyenlőségéből következik, hogy a differencia 0.

Statisztika:

140 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai