Problem C. 986.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 986. Find all integers that may be the measure, in degrees, of the angles of a regular polygon.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)^.180^o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága $\frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}=\frac{n\cdot180^{\circ}-360^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$ . Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n $\geq$ 3 egész szám esetén lesz a $180-\frac{360}{n}$ is egész. A 360=2³^.3²^.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Az n oldalszám ismeretében a $180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$ képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:

60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.

Statistics on problem C. 986.

204 students sent a solution.

5 points: 126 students.

4 points: 27 students.

3 points: 17 students.

2 points: 3 students.

1 point: 11 students.

0 point: 9 students.

Unfair, not evaluated: 11 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009

Our web pages are supported by:

ELTE