Problem C. 986. (April 2009)

C. 986. Find all integers that may be the measure, in degrees, of the angles of a regular polygon.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)^.180^o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága $\frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}=\frac{n\cdot180^{\circ}-360^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$ . Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n $\geq$ 3 egész szám esetén lesz a $180-\frac{360}{n}$ is egész. A 360=2³^.3²^.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Az n oldalszám ismeretében a $180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}$ képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:

60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.

Statistics:

203 students sent a solution.

5 points: 125 students.

4 points: 27 students.

3 points: 17 students.

2 points: 3 students.

1 point: 11 students.

0 point: 9 students.

Unfair, not evaluated: 11 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009

203 students sent a solution.
5 points:	125 students.
4 points:	27 students.
3 points:	17 students.
2 points:	3 students.
1 point:	11 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?