KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 986. (April 2009)

C. 986. Find all integers that may be the measure, in degrees, of the angles of a regular polygon.

(5 pont)

Deadline expired on 15 May 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2).180o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága \frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}=\frac{n\cdot180^{\circ}-360^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}. Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n\geq3 egész szám esetén lesz a 180-\frac{360}{n} is egész. A 360=23.32.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Az n oldalszám ismeretében a 180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n} képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:

60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.


Statistics:

>
204 students sent a solution.
5 points:126 students.
4 points:27 students.
3 points:17 students.
2 points:3 students.
1 point:11 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley