C. 987. The lengths of the sides of a triangle cut out of paper are 8 cm, 10 cm and 12 cm. The triangle is folded along a line through the common vertex so that the shortest side overlaps with the longest side. A double-layer part and a single-layer part are obtained. Prove that the single-layer part is an isosceles triangle.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot!

A hajtogatás következtében . Ekkor CAP=C'AP, tehát a P pont az A csúcsból induló szögfelező és az a oldal metszéspontja.

Az egybevágóság miatt AC'=AC=8, így BC'=4.

A háromszög szögfelezőjének osztásarányáról szóló tétel szerint: . Legyen BP=12x és PC=8x. Ekkor 12x+8x=10, amiből . Így , amivel egyenlő a PC' is.

Ezzel beláttuk, hogy PC'=BC'=4, azaz a C'PB háromszög (az egyrétegű rész) valóban egyenlő szárú.

Statistics on problem C. 987. 186 students sent a solution. 5 points: 111 students. 4 points: 49 students. 3 points: 10 students. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 8 solutions.