Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 987. (April 2009)

C. 987. The lengths of the sides of a triangle cut out of paper are 8 cm, 10 cm and 12 cm. The triangle is folded along a line through the common vertex so that the shortest side overlaps with the longest side. A double-layer part and a single-layer part are obtained. Prove that the single-layer part is an isosceles triangle.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot!

A hajtogatás következtében APC\triangle\cong APC'\triangle. Ekkor CAP\angle=C'AP\angle, tehát a P pont az A csúcsból induló szögfelező és az a oldal metszéspontja.

Az egybevágóság miatt AC'=AC=8, így BC'=4.

A háromszög szögfelezőjének osztásarányáról szóló tétel szerint: \frac{BP}{PC}=\frac{12}{8}. Legyen BP=12x és PC=8x. Ekkor 12x+8x=10, amiből x=\frac12. Így PC=8\cdot\frac12=4, amivel egyenlő a PC' is.

Ezzel beláttuk, hogy PC'=BC'=4, azaz a C'PB háromszög (az egyrétegű rész) valóban egyenlő szárú.


Statistics:

186 students sent a solution.
5 points:111 students.
4 points:49 students.
3 points:10 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009