Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 989. (April 2009)

C. 989. A cubical playing die is made out of a spherical body by cutting off six identical spherical caps. Each of the circular sections is tangent to the four adjacent ones. What percentage is the total area of the six circles of the whole surface area of the resulting die?

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Messük el az ábrán látható testet egy, az ABFE síkkal párhuzamos és az E1 ponton áthaladó síkkal. Ez a sík átmegy a gömb O középpontján. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az OTF1 egyenlő szárú derékszögű háromszögből TF_1=\frac{\sqrt2}{2}r, vagyis a hat körlap együttes területe:

A_1=6\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}r\right)^2\pi.

A hat (levágott) gömbsüveg magassága: m=OM-OT=r-\frac{\sqrt2}{2}r=r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right). Így a hat gömbsüveg együttes felszíne:

A_{6G}=6\cdot2\pi\cdot r\cdot r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).

Innen a dobókocka felszíne:

A_2=4r¢2\pi-6\cdot2\pi\cdot r^2\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).

Végül a keresett arány (r2\pi-vel egyszerűsítve):

\frac{A_1}{A_1+A_2}=\frac{6\cdot\frac24}{6\cdot\frac24+4-6\cdot2\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)}=\frac{3}{6\sqrt2-5}\approx0,8608.

Tehát kb. 86%-a a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének.


Statistics:

144 students sent a solution.
5 points:62 students.
4 points:42 students.
3 points:15 students.
2 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009