KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 989. (April 2009)

C. 989. A cubical playing die is made out of a spherical body by cutting off six identical spherical caps. Each of the circular sections is tangent to the four adjacent ones. What percentage is the total area of the six circles of the whole surface area of the resulting die?

(5 pont)

Deadline expired on 15 May 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Messük el az ábrán látható testet egy, az ABFE síkkal párhuzamos és az E1 ponton áthaladó síkkal. Ez a sík átmegy a gömb O középpontján. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az OTF1 egyenlő szárú derékszögű háromszögből TF_1=\frac{\sqrt2}{2}r, vagyis a hat körlap együttes területe:

A_1=6\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}r\right)^2\pi.

A hat (levágott) gömbsüveg magassága: m=OM-OT=r-\frac{\sqrt2}{2}r=r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right). Így a hat gömbsüveg együttes felszíne:

A_{6G}=6\cdot2\pi\cdot r\cdot r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).

Innen a dobókocka felszíne:

A_2=4r¢2\pi-6\cdot2\pi\cdot r^2\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).

Végül a keresett arány (r2\pi-vel egyszerűsítve):

\frac{A_1}{A_1+A_2}=\frac{6\cdot\frac24}{6\cdot\frac24+4-6\cdot2\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)}=\frac{3}{6\sqrt2-5}\approx0,8608.

Tehát kb. 86%-a a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének.


Statistics:

144 students sent a solution.
5 points:62 students.
4 points:42 students.
3 points:15 students.
2 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley