KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 990. (May 2009)

C. 990. Find all integers for which the value of the expression 6x2-167x-4823 is

a) a prime number;

b) the smallest possible integer.

(5 pont)

Deadline expired on 15 June 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A 6x2-167x-4823=0 másodfokú egyenlet gyökei: x_1=-\frac{53}{3}, x_2=\frac{91}{2}.

Így a gyöktényezős alak segítségével:

6x^2-167x-4823=6\left(x-\frac{91}{2}\right)\left(x+\frac{53}{3}\right)=(2x-91)(3x+53).

Tehát (2x-91)(3x+53)=p.

Mivel p prím, ezért a szorzat egyik tényezője csak 1 vagy -1 lehet.

Tehát a kifejezés értéke az x=-18 és az x=46 esetben lesz prímszám.

b) Teljes négyzetté kiegészítéssel:

6x^2-167x-4823=6\left(x^2-\frac{167}{6}x-\frac{4823}{6}\right)=6\left(\left(x-\frac{167}{12}\right)^2-\frac{143641}{144}\right).

A kifejezés a minimumát az x=\frac{167}{12} helyen veszi fel. Mivel előtte szigorúan monoton csökken, utána szigorúan monoton nő, a legkisebb egész számot a minimumhelyet közbezáró egész számoknál, vagyis az x=13, vagy az x=14 helyeken veheti fel. x=13-ra a kifejezés helyettesítési értéke -5980, x=14-re pedig -5985.

Tehát a kifejezés értéke az x=14 esetben lesz a lehető legkisebb egész szám.


Statistics:

111 students sent a solution.
5 points:Almási Péter, Balázs 687 Bálint, Bárány Ambrus, Baranyai Zoltán, Beke András, Benyó Krisztián, Bodnár Domonkos, Botond Ákos, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Fábián Kata, Farkas Zsuzsanna, Fülöp Dóra, Galambos 124 Mónika, Gozsovics Dóra, Gudenus Balázs, Halász 423 Dániel, Haléder Zsuzsanna, Jezeri András, Kitzinger Andor, Konczi Anita, Kovács 235 Gábor, Kungl 008 Ákos, Kurucz Balázs, Lantos Dániel, Lőrincz Dóra, Matyuska Péter, Medvey Fanni, Meszlényi Regina, Mihálka Éva Zsuzsanna, Mihálykó András, Morapitiye Sunil, Nagy 014 Gergely, Nánási József, Pásztor Bálint, Pósfai Balázs, Repka 666 Dániel, Samu Viktor, Schindele Kornélia, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szekeres Dorottya, Szepesvári Eszter, Szepesvári Réka, Tamás Ádám, Tolnai Dániel, Várnai Péter, Végh János, Zsakó András.
4 points:34 students.
3 points:8 students.
2 points:16 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley