KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 990. Find all integers for which the value of the expression 6x2-167x-4823 is

a) a prime number;

b) the smallest possible integer.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. a) A 6x2-167x-4823=0 másodfokú egyenlet gyökei: x_1=-\frac{53}{3}, x_2=\frac{91}{2}.

Így a gyöktényezős alak segítségével:

6x^2-167x-4823=6\left(x-\frac{91}{2}\right)\left(x+\frac{53}{3}\right)=(2x-91)(3x+53).

Tehát (2x-91)(3x+53)=p.

Mivel p prím, ezért a szorzat egyik tényezője csak 1 vagy -1 lehet.

Tehát a kifejezés értéke az x=-18 és az x=46 esetben lesz prímszám.

b) Teljes négyzetté kiegészítéssel:

6x^2-167x-4823=6\left(x^2-\frac{167}{6}x-\frac{4823}{6}\right)=6\left(\left(x-\frac{167}{12}\right)^2-\frac{143641}{144}\right).

A kifejezés a minimumát az x=\frac{167}{12} helyen veszi fel. Mivel előtte szigorúan monoton csökken, utána szigorúan monoton nő, a legkisebb egész számot a minimumhelyet közbezáró egész számoknál, vagyis az x=13, vagy az x=14 helyeken veheti fel. x=13-ra a kifejezés helyettesítési értéke -5980, x=14-re pedig -5985.

Tehát a kifejezés értéke az x=14 esetben lesz a lehető legkisebb egész szám.


Statistics on problem C. 990.
111 students sent a solution.
5 points:Almási Péter, Balázs 687 Bálint, Bárány Ambrus, Baranyai Zoltán, Beke András, Benyó Krisztián, Bodnár Domonkos, Botond Ákos, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Fábián Kata, Farkas Zsuzsanna, Fülöp Dóra, Galambos 124 Mónika, Gozsovics Dóra, Gudenus Balázs, Halász 423 Dániel, Haléder Zsuzsanna, Jezeri András, Kitzinger Andor, Konczi Anita, Kovács 235 Gábor, Kungl 008 Ákos, Kurucz Balázs, Lantos Dániel, Lőrincz Dóra, Matyuska Péter, Medvey Fanni, Meszlényi Regina, Mihálka Éva Zsuzsanna, Mihálykó András, Morapitiye Sunil, Nagy 014 Gergely, Nánási József, Pásztor Bálint, Pósfai Balázs, Repka 666 Dániel, Samu Viktor, Schindele Kornélia, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szekeres Dorottya, Szepesvári Eszter, Szepesvári Réka, Tamás Ádám, Tolnai Dániel, Várnai Péter, Végh János, Zsakó András.
4 points:34 students.
3 points:8 students.
2 points:16 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program