KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 991. A right-angled triangle of sides 3, 4, 5 is cut into two parts with a line perpendicular to the hypotenuse. One part is a quadrilateral that has an inscribed circle, and the other part is a right-angled triangle. Find the lengths of the sides of the quadrilateral.

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a=3, b=4, c=5.

1.eset: Az egyenes a b oldalt metszi a Qb pontban.

Legyen BP=x, ekkor PA=5-x. Mivel AQ_bP\triangle\approx ABC\triangle, ezért \frac{PQ_b}{5-x}=\frac34~\Rightarrow~PQ_b=\frac34(5-x) és \frac{Q_bA}{5-x}=\frac54~\Rightarrow~Q_bA=\frac54(5-x).

Ekkor CQ_b=4-\frac54(5-x)=\frac{5x-9}{4}.

Mivel BCQbP érintőnégyszög, azért BC+QbP=CQb+PB, azaz 3+\frac34(5-x)=\frac{5x-9}{4}+x, ebből x=3.

Tehát a négyszög oldalai 3; 1,5; 1,5; 3.

2. eset: Az egyenes az a oldalt metszi a Qa pontban. Legyen AP=x, ekkor PB=5-x. Mivel BQ_aP\triangle\approx BAC\triangle, ezért \frac{PQ_a}{5-x}=\frac43~\Rightarrow~PQ_a=\frac43(5-x) és \frac{Q_aB}{5-x}=\frac53~\Rightarrow~Q_aB=\frac53(5-x).

Ekkor CQ_a=3-\frac53(5-x)=\frac{5x-16}{3}.

Mivel APQaC érintőnégyszög, azért AC+QaP=CQa+PA, 4+\frac43(5-x)=\frac{5x-16}{3}+x, ebből x=4.

Tehát a négyszög oldalai 4; \frac43; \frac43; 4.


Statistics on problem C. 991.
123 students sent a solution.
5 points:76 students.
4 points:5 students.
3 points:30 students.
2 points:8 students.
1 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program