Problem C. 991. (May 2009)
C. 991. A right-angled triangle of sides 3, 4, 5 is cut into two parts with a line perpendicular to the hypotenuse. One part is a quadrilateral that has an inscribed circle, and the other part is a right-angled triangle. Find the lengths of the sides of the quadrilateral.
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a=3, b=4, c=5.
1.eset: Az egyenes a b oldalt metszi a Qb pontban.
Legyen BP=x, ekkor PA=5-x. Mivel , ezért és .
Ekkor .
Mivel BCQbP érintőnégyszög, azért BC+QbP=CQb+PB, azaz , ebből x=3.
Tehát a négyszög oldalai 3; 1,5; 1,5; 3.
2. eset: Az egyenes az a oldalt metszi a Qa pontban. Legyen AP=x, ekkor PB=5-x. Mivel , ezért és .
Ekkor .
Mivel APQaC érintőnégyszög, azért AC+QaP=CQa+PA, , ebből x=4.
Tehát a négyszög oldalai 4; ; ; 4.
Statistics:
122 students sent a solution. 5 points: 76 students. 4 points: 5 students. 3 points: 29 students. 2 points: 8 students. 1 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009