A C. 994. feladat (2009. május)

C. 994. Legyen x<y<z. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet:

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételt felhasználva alakítsuk át az egyenletet!

3^x(1+3^y-x+3^z-x)=3^4.2215.

Mivel a zárójelben lévő kifejezés nem osztható 3-mal, csak

3^x=3⁴

lehetséges, így az exponenciális függvény monotonitása miatt

x=4.

Ekkor az egyenlet a következő alakot ölti:

1+3^y-4+3^z-4=2215,

3^y-4(1+3^z-y)=3^3.82.

Az előbbiekhez hasonlóan

3^y-4=3³,

y=7.

És így az egyenlet

1+3^z-7=82,

3^z-7=81,

z=11.

Tehát az egyenlet megoldásai: x=4; y=7; z=11.

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai