KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 996. Given six different points in the plane such that at least three of any four are collinear. Prove that at least five of the points lie on the same line.

(5 points)

Deadline expired on 12 October 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek a pontjaink A, B, C, D, E és F. Az ABCD pontnégyesből legyen ABC egy egyenesen (jelöljük e-vel). Ekkor az ABCE és ABCF pontnégyesben E és F lehet e-n kívül. Ha ADEF (vagy BDEF vagy CDEF) pontnégyest tekintjük, akkor 2 eset lehetséges: DEF egy egyenesen vannak (f). Válasszunk e-ről és f-ről két-két olyan pontot, melyek egyike sem e és f metszéspontja. Csak akkor lehet legalább három egy egyenesen, ha mind a négy pont egy egyenesen van, azaz e=f. Ekkor mind a hat pont egy egyenesen van. Ha ADE vannak egy egyenesen (g), (F-ről még nem tudunk semmit). Ha g=e, akkor készen vagyunk. Tegyük fel, hogy különböznek, közös pontjuk csupán A. Azonban BCDE-ből is legalább három egy egyenesen van, ami nem lehetséges, különben volna e-nek és g-nek A-tól különböző metszéspontja. Tehát ABCDE mind illeszkednek e-re.


Statistics on problem C. 996.
350 students sent a solution.
5 points:95 students.
4 points:46 students.
3 points:41 students.
2 points:45 students.
1 point:71 students.
0 point:46 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley