Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 996. (September 2009)

C. 996. Given six different points in the plane such that at least three of any four are collinear. Prove that at least five of the points lie on the same line.

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a pontjaink A, B, C, D, E és F. Az ABCD pontnégyesből legyen ABC egy egyenesen (jelöljük e-vel). Ekkor az ABCE és ABCF pontnégyesben E és F lehet e-n kívül. Ha ADEF (vagy BDEF vagy CDEF) pontnégyest tekintjük, akkor 2 eset lehetséges: DEF egy egyenesen vannak (f). Válasszunk e-ről és f-ről két-két olyan pontot, melyek egyike sem e és f metszéspontja. Csak akkor lehet legalább három egy egyenesen, ha mind a négy pont egy egyenesen van, azaz e=f. Ekkor mind a hat pont egy egyenesen van. Ha ADE vannak egy egyenesen (g), (F-ről még nem tudunk semmit). Ha g=e, akkor készen vagyunk. Tegyük fel, hogy különböznek, közös pontjuk csupán A. Azonban BCDE-ből is legalább három egy egyenesen van, ami nem lehetséges, különben volna e-nek és g-nek A-tól különböző metszéspontja. Tehát ABCDE mind illeszkednek e-re.


Statistics:

350 students sent a solution.
5 points:95 students.
4 points:46 students.
3 points:41 students.
2 points:45 students.
1 point:71 students.
0 point:46 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009