Problem C. 997. (September 2009)
C. 997. Prove that every fourth term of the Fibonacci sequence is divisible by three. (In the Fibonacci sequence, a1=1, a2=1 and an=an-1+an-2 for all , n3.)
(5 pont)
Deadline expired on October 12, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Bizonyítás teljes indukcióval: \(\displaystyle a_4=3\) ami osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Minden negyedik sorozat-elem sorszáma \(\displaystyle 4\)-gyel osztható, azaz az \(\displaystyle a_{4k}\) tagokról szól a feladat. Tegyük fel, hogy minden \(\displaystyle k<n\)-re \(\displaystyle 3\mid a_{4k}.\)
\(\displaystyle a_{4(n+1)}=a_{4n+3}+a_{4n+2}=a_{4n+2}+a_{4n+1}+a_{4n+2}=2(a_{4n}+a_{4n+1})+a_{4n+1}=2a_{4n}+3a_{4n+1}\)
a sorozat definícióját háromszor alkalmazva. Ezek szerint a következő negyedik tag egy hárommal osztható (az indukciós feltevés szerint) és egy másik háromszorosa összegeként kapható meg, amiből következik, hogy maga is osztható 3-mal.
Statistics:
435 students sent a solution. 5 points: 210 students. 4 points: 72 students. 3 points: 93 students. 2 points: 42 students. 1 point: 12 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009