KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 997. (September 2009)

C. 997. Prove that every fourth term of the Fibonacci sequence is divisible by three. (In the Fibonacci sequence, a1=1, a2=1 and an=an-1+an-2 for all n\in \mathbb{N}, n\ge3.)

(5 pont)

Deadline expired on 12 October 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bizonyítás teljes indukcióval: \(\displaystyle a_4=3\) ami osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Minden negyedik sorozat-elem sorszáma \(\displaystyle 4\)-gyel osztható, azaz az \(\displaystyle a_{4k}\) tagokról szól a feladat. Tegyük fel, hogy minden \(\displaystyle k<n\)-re \(\displaystyle 3\mid a_{4k}.\)

\(\displaystyle a_{4(n+1)}=a_{4n+3}+a_{4n+2}=a_{4n+2}+a_{4n+1}+a_{4n+2}=2(a_{4n}+a_{4n+1})+a_{4n+1}=2a_{4n}+3a_{4n+1}\)

a sorozat definícióját háromszor alkalmazva. Ezek szerint a következő negyedik tag egy hárommal osztható (az indukciós feltevés szerint) és egy másik háromszorosa összegeként kapható meg, amiből következik, hogy maga is osztható 3-mal.


Statistics:

435 students sent a solution.
5 points:210 students.
4 points:72 students.
3 points:93 students.
2 points:42 students.
1 point:12 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley