Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 997. (September 2009)

C. 997. Prove that every fourth term of the Fibonacci sequence is divisible by three. (In the Fibonacci sequence, a1=1, a2=1 and an=an-1+an-2 for all n\in \mathbb{N}, n\ge3.)

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bizonyítás teljes indukcióval: \(\displaystyle a_4=3\) ami osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Minden negyedik sorozat-elem sorszáma \(\displaystyle 4\)-gyel osztható, azaz az \(\displaystyle a_{4k}\) tagokról szól a feladat. Tegyük fel, hogy minden \(\displaystyle k<n\)-re \(\displaystyle 3\mid a_{4k}.\)

\(\displaystyle a_{4(n+1)}=a_{4n+3}+a_{4n+2}=a_{4n+2}+a_{4n+1}+a_{4n+2}=2(a_{4n}+a_{4n+1})+a_{4n+1}=2a_{4n}+3a_{4n+1}\)

a sorozat definícióját háromszor alkalmazva. Ezek szerint a következő negyedik tag egy hárommal osztható (az indukciós feltevés szerint) és egy másik háromszorosa összegeként kapható meg, amiből következik, hogy maga is osztható 3-mal.


Statistics:

435 students sent a solution.
5 points:210 students.
4 points:72 students.
3 points:93 students.
2 points:42 students.
1 point:12 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009