Az I. 122. feladat (2006. január)

\magnification=\magstep1
\nopagenumbers

\leftline{\bf I. 122.}

\leftline{Mekk Elek 10. o. t.}

\leftline{Nekeresd, Ezermesterk\'epz\H o Int\'ezet}

\leftline{kaposzta@nekeresd.hu}

\vskip1cm

A m\'asodfok\'u egyenlet \'altal\'anos alakja: $ax^2+bx+c=0$, ahol
$a\ne0$. Osztva $a$-val \'es teljes n\'egyzett\'e alak\'\i tva,
$$x^2+{b\over a}x+{c \over a}=0$$
$${\left(x+{b\over2a}\right)}^2-{b^2\over4a^2}+{c \over a}=0$$
$${\left(x+{b\over2a}\right)}^2={b^2-4ac\over4a^2}$$

Legyen $D=b^2-4ac$. Ha $D<0$, akkor nincs megold\'as, mert a baloldal
mindig nemnegat\'\i v, a jobboldal pedig negat\'\i v. Ha $D\ge0$,
akkor n\'egyzetgy\"ok\"ot vonva,
$$x+{b\over2a}=\pm{\sqrt{b^2-4ac}\over2a}$$
$$x={-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\over2a}$$

Ha $D=0$, akkor a k\'et \'ert\'ek megegyezik. \"Osszefoglalva, ha a
k\'et megold\'ast $x_1$-gyel \'es $x_2$-vel jel\"olj\"uk, akkor
$$x_{1,2}={-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\over2a}.$$

A $D=b^2-4ac$ kifejez\'es a m\'asodfok\'u egyenlet {\it
diszkrimin\'ansa\/}; az egyenletenek $D<0$ eset\'en nincs val\'os
megold\'asa, $D=0$ eset\'en egy val\'os megold\'as l\'etezik,
$D>0$ eset\'en pedig kett\H o.

\bye