Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem I. 198. (November 2008)

I. 198. Using a spreadsheet application, simulate the motion of a point mass lying on a rotating disc.

The disc is horizontal, the rotation is uniform and anticlockwise. The axis of rotation is vertical and it coincides with the axis of symmetry of the disc. The peripheral velocity vk of any point of the disc is perpendicular to the radius, and its magnitude is directly proportional to the distance from the center.

The object having mass m is initially located at the center of the disc and it has initial velocity V0. The object then moves horizontally on the disc only under the influence of the constant slip friction force Fs. The direction of this force is opposite to the velocity of the object relative to the disc.

The simulation is performed by choosing a suitable time-step t, in which all physical quantities can be considered as constants. The state of the system at any time instant determines the state of the system after time t according to the rules below:

the position coordinates of the object x and y should be increased by t multiplied by the previous velocity coordinates vx and vy;

the distance r of the object from the center is computed together with the vkx and vky components of the peripheral velocity of the given point of the disc;

the difference of the velocity vector of the object and that of the disc is computed, since this gives the direction of the friction force;

components of the friction force are computed, from which components of the acceleration vector are obtained;

components of the acceleration multiplied by t give the change of velocity: velocity in the next simulation step should be increased by these values.

The mass of the object, its initial velocity, the magnitude of the friction force, the time-step and the peripheral velocity of a point of the disc (located by 1 m from the center) are given in the first 5 lines of the sheet, according to the example. The following lines of the sheet should contain the quantities describing the motion of the object in at least 300 simulation steps. The motion of the object should be depicted on an appropriate diagram.

Your worksheet (i198.xls, i198.ods, ...) together with a short documentation (i198.txt, i198.pdf, ...) should be submitted, also containing a brief description of your solution and the name and version number of the spreadsheet application used.

(10 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Legyen a munkalapon a kezdeti értékek elrendezése a mintának megfelelően az A1:B5 tartományban. A szimuláció adatait tartalmazó táblázat értékeit minden második és azt követő sorban az előző és az adott sorra való hivatkozásokat tartalmazó képletekkel tudjuk kiszámítani. Amennyiben a táblázat fejléce a munkalap 8. sorában van, a kiindulási értékeket a 9. sorban találjuk, akkor a másolható képletek a 10. sortól kiindulva az alábbiak szerint alakulnak:

Az előző állapotbeli hely értékét változtatjuk az előző állapotban fölvett sebességkoordináták és az eltelt idő szorzatával, azaz A10=A9+C9*B$4 és B10=B9+D9*B$4.

A gyorsulások előző értékei és az eltelt idő szorzatával növeljük a sebességkomponenseket, tehát C10=C9+L9*B$4 és D10=D9+M9*B$4.

Pitagórasz tételével kiszámítjuk a test távolságát a korong középpontjától, azaz E10==GYÖK(A102+B102).

A korong az óramutató járásával ellentétes irányban forog, a test helyén lévő pontjának kerületi sebessége merőleges a test helyvektorára, így iránya a (-y/r,x/r) egységvektorral egyező. A sebességvektor nagysága 1méter sugárnál a B5 cellában található érték, r sugár mellett éppen r és B5 szorzata. A sebességkomponensek képletéből az r sugár kiesik, így F10==-B10*B$5 és G10=A10*B$5.

A súrlódási erő a test és a korong egymáshoz viszonyított elmozdulásából számítható, ezért megadjuk a sebességvektoraik különbségét, így H10=F10-C10 és I10=G10-D10. A súrlódási erő nagysága állandó, a B3 cellában található érték, iránya az előbb kiszámított sebességkülönbséggel egyező. Készítsünk egységvektort tehát a sebességek eltéréséből és szorozzuk B3-mal: J10=H10/GYÖK(H102+I102)*B$3 és K10=I10/GYÖK(H102+I102)*B$3.

A gyorsulás vektorának komponensei Newton II. törvénye alapján a test vízszintes mozgását egyedül meghatározó súrlódási erő és a tömeg hányadosaként kaphatóak, azaz L10=J10/B$1 és M10=K10/B$10.

A képletek a következő sorokba egyszerűen másolhatók. Az első számításokat tartalmazó sor kiindulásként a (0;0) koordinátákat és a kezdeti X irányú sebességet tartalmazza, tehát A9=B9=D9=0 és C9=B2. A többi cella a 10 sorba írt képletekből másolható.

A számítással kapott helyzet koordinátákat érdemes jelölők nélküli, görbített vonallal összekötött Pont(XY) diagramon ábrázolni.

Egy Excelben készült mintamegoldást mellékelünk: i198mo.xls.

### Statistics:

 16 students sent a solution. 10 points: Balla Attila, Englert Péter, Földes Imre, Szabó 928 Attila. 9 points: Fehér Péter, Horváth 135 Loránd, Nagy 111 Miklós, Uray Marcell János. 7 points: 1 student. 6 points: 3 students. 5 points: 1 student. 4 points: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutions.

Problems in Information Technology of KöMaL, November 2008