Az I. 36. feladat (2002. november)

I. 36. A trinomiális tétel szerint:

\(\displaystyle {(x+y+z)}^n = \sum_{\textstyle{0 \le a,b,c \le n\atop a+b+c=n}} {a+b+c\choose a,b,c} x^ay^bz^c. \)

A képletben használt zárójeles formula az ún. trinomiális együtthatókat tartalmazza, melyeket az alábbi képlettel is számolhatunk:

\(\displaystyle {a+b+c\choose a,b,c} = \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}. \)

Az ebben a képletben szereplő faktoriális értékek azonban túlságosan nagyok, így kiszámításuk nem mindig végezhető el. A trinomiális együtthatók kiszámítása azonban visszavezethető binomiális együtthatók szorzatára is, ami ezt a problémát megoldja.

Készítsünk táblázatot (I36.xls), amelynek egy adott mezőjébe beírva \(\displaystyle n\) (\(\displaystyle n= a+b+c\), \(\displaystyle n \le \)20) értékét, az alábbi jellegű táblázatot kapjuk a trinomiális együtthatókról!

Példa: \(\displaystyle n=5\) esetén a táblázat:

\(\displaystyle {|r|r|r|r|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|l|}{a/b}&\textbf{0}&\textbf{1}&\textbf{2}&\textbf{3}&\textbf{4}&\textbf{5}\\ \hline 0&1&5&10&10&5&1\\ \hline 1&5&20&30&20&5&0\\ \hline \quad 2&\qquad 10&\qquad 30&\qquad 30&\qquad 10&\qquad \phantom{1}0&\qquad \phantom{1}0\\ \hline 3&10&20&10&0&0&0\\ \hline 4&5&5&0&0&0&0\\ \hline 5&1&0&0&0&0&0\\ \hline \)

\(\displaystyle

(10 pont)

A beküldési határidő 2002. december 15-én LEJÁRT.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
10 pontot kapott:	Acsai Péter, Auth Dániel, Bartha Ferenc, Bartha Zsolt, Bartók András, Coc Károly, Ferenci Tamás, Földházi István, Hubai Tamás, Kádár Balázs, Kaszaki Péter, Kocsis 808 István, Márton Sándor, Mazroa Dániel, Molnár 811 Kristóf, Ott Szabolcs, Pál Kornél, Péntek Imre, Rácz 206 György, Rendes Gábor, Ruppert László Gábor, Simon Balázs, Sipka 135 Bálint, Szilágyi Péter, Tóth 515 László, Tuska Gábor, Vaskó Richárd, Vincze János.
8 pontot kapott:	2 versenyző.
6 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2002. novemberi informatika feladatai