Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 106. (December 2006)

K. 106. The sum of the squares of three consecutive odd natural numbers is a four-digit number of identical digits. Find all possible sets of three such numbers. Are there five consecutive odd natural numbers, such that the sum of their squares is a six-digit number of equal digits?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a három egymást követő páratlan szám négyzetének összegét! (a-2)2+a2+(a+2)2=3a2+8. Mivel a páratlan, ezért a kapott négyzetösszeg is páratlan; másrészt pedig a négyzetösszeg nem osztható 3-mal, így csak 1111, 5555, 7777 lehet az értéke. A lehetőségeket megvizsgálva csak a 41, 43, 45 számhármas megfelelő, melyek négyzetének összege 5555.

Öt egymást követő páratlan szám négyzetének összege (a-4)2+(a-2)2+a2+(a+2)2+(a+4)2=5a2+40. Ez 5-tel osztható, így értékére csak az 555 555 jöhetne szóba, de ekkor a nem lenne egész szám. Így nem találhatunk öt megfelelő számot.


Statistics:

155 students sent a solution.
6 points:97 students.
5 points:13 students.
4 points:19 students.
3 points:6 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006