Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 106. (December 2006)

K. 106. The sum of the squares of three consecutive odd natural numbers is a four-digit number of identical digits. Find all possible sets of three such numbers. Are there five consecutive odd natural numbers, such that the sum of their squares is a six-digit number of equal digits?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a három egymást követő páratlan szám négyzetének összegét! (a-2)2+a2+(a+2)2=3a2+8. Mivel a páratlan, ezért a kapott négyzetösszeg is páratlan; másrészt pedig a négyzetösszeg nem osztható 3-mal, így csak 1111, 5555, 7777 lehet az értéke. A lehetőségeket megvizsgálva csak a 41, 43, 45 számhármas megfelelő, melyek négyzetének összege 5555.

Öt egymást követő páratlan szám négyzetének összege (a-4)2+(a-2)2+a2+(a+2)2+(a+4)2=5a2+40. Ez 5-tel osztható, így értékére csak az 555 555 jöhetne szóba, de ekkor a nem lenne egész szám. Így nem találhatunk öt megfelelő számot.


Statistics:

155 students sent a solution.
6 points:97 students.
5 points:13 students.
4 points:19 students.
3 points:6 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006