 |
A K. 106. feladat (2006. december) |
K. 106. Három egymást követő páratlan természetes szám négyzetének összege olyan négyjegyű szám, melynek minden számjegye azonos. Adjuk meg az összes ilyen számhármast. Találunk-e öt egymást követő páratlan természetes számot, melyek négyzetének összege olyan hatjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?
(6 pont)
A beküldési határidő 2007. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel a három egymást követő páratlan szám négyzetének összegét! (a-2)2+a2+(a+2)2=3a2+8. Mivel a páratlan, ezért a kapott négyzetösszeg is páratlan; másrészt pedig a négyzetösszeg nem osztható 3-mal, így csak 1111, 5555, 7777 lehet az értéke. A lehetőségeket megvizsgálva csak a 41, 43, 45 számhármas megfelelő, melyek négyzetének összege 5555.
Öt egymást követő páratlan szám négyzetének összege (a-4)2+(a-2)2+a2+(a+2)2+(a+4)2=5a2+40. Ez 5-tel osztható, így értékére csak az 555 555 jöhetne szóba, de ekkor a nem lenne egész szám. Így nem találhatunk öt megfelelő számot.
Statisztika:
155 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 97 versenyző. 5 pontot kapott: 13 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai