K. 116. Let us make 3×3 Latin squares out of a deck of French cards. (There is a card in each field of the Latin square.) Number cards are worth the value printed on them; jacks, queens, kings and aces are worth 11, 12, 13 and 1, respectively. In a Latin square, the sum of the numbers is the same in each row, column and diagonal. Let us call this equal sum the ``magic number'' of the square.

a) What is the largest possible magic number that can be achieved if all the nine cards used are clubs?

b) Is there a square whose magic number is 37 if any 9 cards may be used?

(6 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. a) A lehető legnagyobb bűvös szám akkor keletkezhet, ha a treff színűek közül a legnagyobb értékű lapokat használjuk fel. Ha a bűvös négyzetben szereplő számokat összeadjuk, akkor a bűvös szám háromszorosát kapjuk. Jelen esetben ez 13+12+11+10+9+8+7+6+5 = 81, tehát a legnagyobb lehetséges bűvös szám a 27. Meg kell még mutatni, hogy ez a bűvös négyzet tényleg létezik is:

10 J 6

5 9 K

Q 7 8

b) A lehető legnagyobb bűvös szám akkor keletkezne, ha a 9 legnagyobb értékű lapot használnánk fel, azaz 4 királyt, 4 dámát és egy bubit. Ekkor a lapok pontértékének összege 111, a bűvös szám 37 lenne. Tehát csak a 4 király, 4 dáma, 1 bubi összetételű bűvös négyzet jöhet szóba. Azonban ez a bűvös négyzet nem megvalósítható. A bubi mellé két király kell, hogy a 37 bűvös számként kijöjjön. A bubi nem állhat egyik átlóban sem, mert akkor vele egy oszlopban, sorban és átlóban is két-két király állna (ezek mind különbözők lennének), és ennyi király nincs. Ha viszont a bubi a négyzet egyik oldalának közepén áll, és a sorokban és oszlopokban 37 az összeg (lásd ábra), akkor egyik átlóban sem jön ki a bűvös szám.

K J K

Q K Q

Q K Q

Statistics on problem K. 116. 106 students sent a solution. 6 points: Dávid Nikolett, Kiss Dávid, Kovács 729 Gergely, Mihálka Éva Zsuzsanna, Pasztuhov Anna, Straubinger Péter. 5 points: Csere Kálmán, Garamszegi Balázs, Gerencsér András, Major Bálint István, Najbauer Eszter Éva, Poócza Eszter, Welsz Edit. 4 points: 8 students. 3 points: 16 students. 2 points: 21 students. 1 point: 27 students. 0 point: 20 students. Unfair, not evaluated: 1 solution.