Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 118. (February 2007)

K. 118. Find all five-digit numbers \overline{abcde}, such that there are exactly a zeros, b ones, c twos, d threes and e fours among the digits. (Different letters do not necessarily denote different digits.)

(6 pont)

Deadline expired on March 16, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A keresett szám számjegyei közt nem szerepelhet 6 vagy több, hiszen ez azt jelentené, hogy ötnél több számjegye van. 5 sem lehet a számjegyek közt. A keresett szám számjegyeinek összege 5, hiszen összegük éppen azt adja meg, hogy hány számjegye van az eredeti számnak. Mivel a szám ötjegyű, ezért legalább 1-gyel kezdődik, így legalább 1 db 0-t tartalmaz. Ha a szám három 0-t tartalmazna, akkor számjegyei 0, 0, 0, 2, 3 vagy 0, 0, 0, 1, 4 lennének (valamilyen sorrendben), hogy összegük 5 legyen, de így valamelyik számjegyből pontosan két, illetve négy egyformának kéne lennie, ami nem teljesül. A szám nem tartalmazhat négy 0-t, mert akkor a számjegyeinek összege nem lehetne 5. Ha a szám 1 db 0-t tartalmazna, akkor a számjegyei 0, 1, 1, 1, 2 lennének, mert másképp nem jön ki az összegükre 5 úgy, hogy ne szerepeljen egynél több 0 a számban. Ez viszont nem megfelelő, hiszen így három darab 1 van a számban, de nem tartalmaz 3-as számjegyet. Tehát a számunkban csak pontosan két 0 szerepelhet. Ez viszont 0, 0, 1, 2, 2 számjegyeket indukál, hogy az összegük 5 legyen, ezeket pedig 21200 sorrendbe rendezve kapjuk az egyetlen megoldását a feladatnak.

Értékelés: 6 pontot az kapott, aki érthetően, világosan és helyesen indokolta meg, hogy miért a 21200 az egyetlen megoldás. Sokan helytelenül és nem következetesen indokoltak, ők 4-5 pontot kaptak.

2 pontot az eredmény megadása ért.

0, ill. 1 pontot az kapott, aki elvi hibát követett el.


Statistics:

93 students sent a solution.
6 points:Bakos Ádám, Bódis Attila, Csere Kálmán, Dávid Nikolett, Fialowski Melinda, Ficzere Zsófia, Galambos 124 Mónika, Garamszegi Balázs, Karádi 789 Kristóf, Kiss Dávid, Kókai Mariann, Kovács 002 Máté, Kovács 729 Gergely, Major Bálint István, Mihálka Éva Zsuzsanna, Minya Fanni, Molontay Roland, Nagy 369 Tamás, Nagy Róbert, Najbauer Eszter Éva, Pálinkó Márton, Pasztuhov Anna, Pócs Anita, Poócza Eszter, Scharle András, Straubinger Péter, Südi Anna, Szakál 555 Balázs, Szeifert Bea, Székely Anna Krisztina, Túri Attila, Veszelka Zoltán, Vesztergombi Júlia.
5 points:24 students.
4 points:13 students.
3 points:6 students.
2 points:7 students.
1 point:2 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007