Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 121. (March 2007)

K. 121. An arbitrary point is selected on each side of a rectangle. On what condition will the area of the quadrilateral formed by the four points be the half of the area of the rectangle?

Suggested by B. Szalkai (Veszprém)

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Vegyünk fel tetszőlegesen négy pontot a téglalap oldalain, és készítsük el az alábbi felosztást:

1. ábra                               2. ábra

Az 1. ábrán látható, hogy a számozott háromszögek párja a négy pont által meghatározott téglalap belsejébe esik átfedés nélkül, és középen keletkezik a T-vel jelölt kis téglalap. Ha ez így van, akkor a számozott háromszögek összterülete kevesebb, mint a téglalap területének fele, ezért a négyszög területe több, mint a téglalap területének fele. Egyenlőség pontosan akkor következik be, ha a T-vel jelzett téglalap eltűnik, azaz valamelyik két szemközti oldalon levő pont által meghatározott szakasz párhuzamos lesz a téglalap másik oldalpárjával. A pontok elhelyezkedésétől függően a 2. ábra is kialakulhat, itt a négyszög belsejébe kerülő háromszögek a T területű téglalapban fedik át egymást, tehát a számozott háromszögek összterülete az eredeti téglalap felénél nagyobb, azaz a négyszög területe a téglalap területének felénél kisebb. Egyenlőség akkor érhető el, ha ismét eltüntetjük a T-vel jelzett téglalapot, azaz két szemközti oldalon levő pontot összekötő szakaszt párhuzamos helyzetbe hozunk a téglalap másik oldalpárjával.


Statistics:

103 students sent a solution.
6 points:Balla Regina, Boros 001 Ágnes, Csere Kálmán, Farkas Noémi, Fialowski Melinda, Gál József, Garamszegi Balázs, Hortobágyi Réka, Horváth 002 Imola, Kókai Mariann, Kovács 472 Nóra Beáta, Kovács 729 Gergely, Lénárt Tamás, Mező Zsófia, Minya Fanni, Nagy Róbert, Najbauer Eszter Éva, Ölvedi Balázs, Palágyi Árpád, Pasztuhov Anna, Poócza Eszter, Scharle András, Szakál 555 Balázs, Szeifert Bea, Tancsics Borbála, Tóth 943 Tímea, Tóth Barbara, Túri Attila, Varju 105 Tamás, Veszelka Zoltán, Vesztergombi Júlia, Welsz Edit.
5 points:Fekete Gréta, Gerlei Klára Zsófia, Lantos Dániel, Losonczki Tamás, Menyhárt Patrik, Nagy 555 Balázs, Pálinkó Márton, Pócs Anita, Sanda Norina Ditta, Tamás 218 Friderika, Zsegraics Gábor.
4 points:9 students.
3 points:9 students.
2 points:12 students.
1 point:13 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007