Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 125. feladat (2007. március)

K. 125. Sebi és Vince fa építőelemekből tornyokat készítettek. Mindketten egyforma négyzet alapú hasábokból építkeztek, Sebi az építőelemeket a kisebb felületű lapjaik mentén rakta egymásra, míg Vince a nagyobb felületű oldalakat illesztette egymáshoz. Sebi négy elemből álló tornya pont ugyanolyan magasra sikerült, mint Vince hat elemű építménye. Milyen magasak a tornyok, ha az alapterületük összege 160 cm2?

(6 pont)

A beküldési határidő 2007. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás: Legyen a hasáb négyzet alapjának oldala a, a hasáb magasságának hossza b.

Ha a<b, akkor a2<ab, tehát a hasáb alapjának területe kisebb, mint a hasáb oldallapjának területe. Így a kisebb területű lapoknál négy hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 4b, a nagyobb területű oldallapoknál hat hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 6a.

Mivel az alapterületek összege a2+ab=160, és a két torony egyforma magas, ezért 4b=6a. Az egyenletrendszer megoldása a=8, b=12, így a tornyok magassága 48 cm.

Ha a>b, akkor a2>ab, tehát a hasáb alapjának területe nagyobb, mint a hasáb oldallapjának területe. Így a kisebb területű lapoknál négy hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 4a, a nagyobb területű lapoknál hat hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 6b.

A most kapott egyenletrendszer a2+ab=160, és 4a=6b. Az egyenletrendszer megoldása a=\sqrt{96}=4\sqrt{6}, b=\frac{8\sqrt{6}}{3}, s ekkor a tornyok magassága 16\sqrt{6} cm.


Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bellovicz Lilla, Boros 001 Ágnes, Fialowski Melinda, Gerlei Klára Zsófia, Konczi Anita, Lajtai Krisztina, Losonczki Tamás, Mező Zsófia, Németh-Csóka Mihály, Pálinkó Márton, Pasztuhov Anna, Poócza Eszter, Szeifert Bea, Tancsics Borbála, Tóth 004 Tamás, Tóth Barbara, Túri Attila, Vesztergombi Júlia.
5 pontot kapott:Árva Gergő, Kitzinger Andor, Ölvedi Balázs.
4 pontot kapott:68 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai