Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 138. (October 2007)

K. 138. 1 is subtracted from the square of an arbitrary prime number larger than 3. What is the largest positive integer that is always a factor of the result?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelöljük a prímszámot p-vel, ekkor a feladatban leírtak szerint p2-1-et, azaz (p-1)(p+1)-et vizsgáljuk. Mivel p 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, ezért a két tényező közül pontosan az egyik 3-mal osztható. A két tényező két egymást követő páros szám, melyek közül az egyik biztosan osztható 4-gyel, míg a másik biztosan nem osztható 4-gyel. Tehát a szorzat biztosan osztható 3-mal és 8-cal, azaz 24-gyel is. Ennél nagyobb számot nem tudunk mondani, mert p=5 esetén a kapott szám éppen 24.


Statistics:

251 students sent a solution.
6 points:54 students.
5 points:25 students.
4 points:7 students.
3 points:9 students.
2 points:23 students.
1 point:30 students.
0 point:91 students.
Unfair, not evaluated:12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007