Problem K. 138. (October 2007)
K. 138. 1 is subtracted from the square of an arbitrary prime number larger than 3. What is the largest positive integer that is always a factor of the result?
(6 pont)
Deadline expired on November 10, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelöljük a prímszámot p-vel, ekkor a feladatban leírtak szerint p2-1-et, azaz (p-1)(p+1)-et vizsgáljuk. Mivel p 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, ezért a két tényező közül pontosan az egyik 3-mal osztható. A két tényező két egymást követő páros szám, melyek közül az egyik biztosan osztható 4-gyel, míg a másik biztosan nem osztható 4-gyel. Tehát a szorzat biztosan osztható 3-mal és 8-cal, azaz 24-gyel is. Ennél nagyobb számot nem tudunk mondani, mert p=5 esetén a kapott szám éppen 24.
Statistics:
251 students sent a solution. 6 points: 54 students. 5 points: 25 students. 4 points: 7 students. 3 points: 9 students. 2 points: 23 students. 1 point: 30 students. 0 point: 91 students. Unfair, not evaluated: 12 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007